Séminaire Quantique
organisé par l'équipe Algèbre, représentations, topologie
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Thomas Fiedler
New invariants for tangles via quantum cocycles
16 janvier 2012 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Abstract. We construct new invariants for tangles without closed components. The invariants arise as evaluations of 1-cocycles on canonical arcs in the space of tangles. They take values in a "graded skein module" which refines the HOMFLYPT skein module. The coefficients of this module are Laurent polynomials in five variables. We show that our invariants are not multiplicative already for tangles of two components, in difference to the previously known quantum invariants. We distinguish a 2-component tangle from its mutant, which can not be distinguished neither by HOMFLYPT nor by the 2-variable Kauffman invariant nor by the g_2-invariant of Kuperberg in their corresponding skein modules.
Moreover, the new invariants are related to geometry. They can detect that a braid is not isotopic to a rotation of the disc and that a braid is pseudo-Anosov.
We construct also the first invariants of tangles via a quantum 2-cocycle. -
Delphine Moussard
Invariants de type fini des sphères d'homologie rationnelle
13 février 2012 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Une sphère (resp. un corps en anses de genre g) d'homologie rationnelle de dimension 3 est une 3-variété compacte, connexe, orientée, qui a la même homologie à coefficients rationnels que la sphère standard S^3 (resp. le corps en anses standard de genre g). On définira la notion de chirurgie "préservant les lagrangiens" sur les corps en anses d'homologie rationnelle. On en déduira une filtration du Q-espace vectoriel engendré par toutes les sphères d'homologie rationnelle (à homéomorphisme près), et on identifiera les quotients associés à cette filtration à des espaces de diagrammes. -
Ian Le
Higher laminations and affine buildings
20 février 2012 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Let S be a surface. We are interested in studying the space X_{G,S} of positive points of G-bundles on S, for G a split-real semi-simple Lie group. When G=SL_2, X_{G,S} is Teichmuller space. One tool in understanding Teichmuller space is the theory of laminations. Laminations on a hyperbolic Riemann surface are given by collections of non-intersecting and non-self-intersecting geodesics. They were invented by Thurston in the study of two- and three-dimensional topology. The work of Fock and Goncharov shows that the space of laminations is the tropical points of X_{SL_2,S}. They go further to suggest that there should be a space of laminations for all G, which is given by the tropical points of X_{G,S}, but they do not give a geometric definition of higher analogues of laminations. I will show that the action of the fundamental group on the affine building of G is the correct geometric definition of higher laminations. -
Gwénaël Massuyeau
Formes de Fox et twists de Dehn généralisés
5 mars 2012 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Nous introduisons la notion de "forme de Fox" pour une algèbre de groupe, qui axiomatise la forme d’intersection homotopique pour une surface découverte par Turaev dans les années 70. Nous utilisons les formes de Fox pour construire des automorphismes des complétés de Malcev de groupes. La définition de ces automorphismes s'inspire d'un travail récent de Kawazumi & Kuno, qui décrit l'action d'un twist de Dehn sur le groupe fondamental d'une surface. (En collaboration avec Vladimir Turaev.) -
Philippe Humbert
Catégorie des enchevêtrements dans une surface épaissie : des diagrammes planaires et une propriété universelle
19 mars 2012 - 11:00Salle de séminaires IRMA
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Nickolai Vassiliev
Monomial combinatorics of polynomial ideals. Variations on the theme by Dickson.
21 mars 2012 - 14:00Salle de séminaires IRMA
In the talk we will discuss the applications of some finiteness theorems (like the classical Dickson's lemma) about partially ordered semigroup Z_+^k to the combinatorics of polynomial ideals. -
Christophe Hohlweg
Points limites des systèmes de racines des groupes de Coxeter infinis
2 avril 2012 - 11:00Salle de séminaires IRMA
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Grégoire Dupont
Mutations orientées et triangulations graduées
20 avril 2012 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Résumé : Une construction classique associe à toute triangulation d'une surface marquée un carquois à potentiel de sorte que les flips de triangulations correspondent aux mutations du carquois à potentiel. Dans cet exposé, nous présenterons une version graduée de cette construction qui fournit un cadre géométrico-combinatoire naturel pour l'étude de graphes d'échanges orientés provenant de surfaces. Ceci est un travail conjoint avec Thomas Brüstle. -
Dmitri Gurevitch
Reflection Equation Algebra and its applications
2 mai 2012 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Reflection Equation Algebra is one of quantum algebras related to Quantum Groups. It has many remarkable properties. In particular, it admits as a limit for q → 1 the enveloping algebra U (gl(m)). This property enabled us to define a new version of Noncommutative Geometry (in particular, a version of Noncommutative Minkowski space) and to suggest a method of constructing Integrable Systems based on difference operators. I plan to exhibit the simplest examples in details -
Ismael Soudères
Complexe de cycles sur P1 moins 3 points et polylogarithmes multiples
14 mai 2012 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Dans cet exposé, on décrira, à l'aide de cycles algébriques explicites, la coalgèbre de Lie tannakienne des motifs de Tate mixtes sur P1 moins 3 pts. Cette coalgèbre de Lie s'identifiant au 1-modèle minimal du complexe de cycles sur P1 moins 3 points, on montrera comment construire des cycles au-dessus de P1 moins 3 points correspondant aux polylogarithmes qui se spécialisent au point t=1 en des cycles correspondant aux valeurs zêta multiples. Dans un premier temps, on présentera le complexe de cycles, la construction générale du 1-modèle minimale et la stratégie générale adoptée pour obtenir des cycles algébriques engendrant ce 1-modèle. On montrera ensuite comment fonctionne notre approche sur les exemples faciles des polylogarithmes ainsi que les points importants de la difficulté combinatoire. Puis on introduira des arbres trivalents duaux des crochets de Lyndon répondant au problème combinatoire. Enfin on expliquera comment la combinatoire précédente nous permet de répondre au problème géométrique : construire des cycles. Les cycles désirés (en poids p) sont obtenus par pull-back par la multiplication et pull-back par une multiplication tordue à partir de cycles obtenus en poids inférieurs. Ces cycles s'étendent en fait par construction sur tout A1 et sont vides en t=0 (pull-back par la multiplication) ou en t=1 (multiplication tordue). -
Francesco Costantno
Algèbres skein et représentations du groupe modulaire
21 mai 2012 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Après avoir rappelé les principales constructions sur les algèbres skein et la définition de la norme de Yang-Mills, je discuterai deux résultats récents (obtenus en collaboration avec B. Martelli) qui relient les algèbres skein à la géométrie. Le premier donne une estimation (en fonction du facteur de dilatation) du niveau à partir duquel un diffeomorphisme pseudo-Anosov est détecté par les représentations quantiques. Le deuxième calcule la limite (en tant que représentations unitaires de dimension infinie du groupe modulaire) des algèbres skein quand le paramètre quantique tend vers 0. -
O. Elchinger
Formalité et algèbres libres
4 juin 2012 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Une algèbre associative est dite formelle si son complexe de Hochschild muni du crochet de Gerstenhaber gradué est quasi-isomorphe à sa cohomologie de Hochschild. En 1997, dans son article sur la déformation par quantification des variétés de Poisson, Kontsevich a montré que l'algèbre symétrique d'un espace vectoriel était toujours formelle. On considère le cas des algèbres libres. On montre que sauf en dimension 0 et 1, les algèbres libres ne sont pas formelles. -
Fabien Bouschbacher
Des coordonnées à la Thurston sur le super-espace de Teichmüller
15 octobre 2012 - 11:00Salle de séminaires IRMA
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Francesco Costantino
Sur une famille analytique de représentations des groupes modulaires
22 octobre 2012 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Nous rappellerons la notion de famille de représentations de groupes discrets dépendant de manière analytique d'un paramètre et nous exposerons une approche générale à la construction de telles familles due à A. Vallette.
Nous appliquerons cette construction au cas des groupes modulaires des surfaces épointées en utilisant des objets (les 6j-symboles de U_q(s_2)) provenants de la topologie quantique.
La famille de représentations que nous obtenons a plusieurs propriétés intéressantes et notamment que la courbe de représentations correspondantes aux valeurs réelles du paramètre interpole entre deux remarquables représentations unitaires des groupes modulaires provenantes de la géométrie. (Joint avec Bruno Martelli) -
Vivien Ripoll
Comportement asymptotique des systèmes de racines de groupes de Coxeter infinis
19 novembre 2012 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Étant donné un groupe de Coxeter infini W, considérons le système de racines construit à partir de sa représentation géométrique. Notre objet d'étude est l'ensemble E des points d'accumulation des directions des racines. Nous verrons sur des exemples illustrés en rang 2, 3, et 4 l'aspect fractal que peut avoir cette forme limite E. Nous décrirons une action naturelle de W sur E et présenterons ses propriétés (transitivité, densité de l'orbite d'un élément). Nous étudierons aussi les points extrêmes de l'enveloppe convexe de E, et leur lien avec le cône imaginaire de W. (Travaux en collaboration avec M. Dyer, Ch. Hohlweg et J.-P. Labbé.) -
Friedrich Wagemann
Cohomologie du groupe de Lie des difféomorphismes d'une surface
26 novembre 2012 - 11:00Salle de séminaires IRMA
En lien avec la cohomologie du mapping class group, je vais présenter la cohomologie en tant que groupe de Lie du groupe des difféomorphismes d'une surface. Pendant que les dimensions des espaces de cohomologie se calculent assez facilement en utilisant la théorie de Gelfand-Fuks et des méthodes d'homotopie rationnelle, c'est un problème ouvert de trouver des cocycles représentant ces espaces de cohomologie. Le souhait est qu'une description assez explicite de cette cohomologie permette de faire le lien avec la cohomologie du mapping class group. Je vais illustrer les méthodes de calcul sur l'exemple bien établi des difféomorphismes du cercle. -
Gwénaël Massuyeau
Structures quasi-Poisson pour les groupes de surfaces
3 décembre 2012 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Nous appliquerons la théorie des "doubles crochets" de Van den Bergh aux groupes fondamentaux de surfaces orientées à bord. Nous retrouverons ainsi, décrites d’une manière intrinsèque, les structures quasi-Poisson construites par Alekseev, Kosmann-Schwarzbach & Meinrenken sur les espaces de représentations de tels groupes. Nous conclurons par des descriptions tensorielles des doubles crochets quasi-Poisson sur les groupes de surfaces. (Travail en collaboration avec Vladimir Turaev.) -
Leila Schneps
Actions galoisiennes géométriques
10 décembre 2012 - 11:00Salle de séminaires IRMA
J'expliquerai ce que la théorie de Grothendieck-Teichmüller nous dit sur l'action du groupe de Galois absolu sur les groupes et groupoïdes fondamentaux algébriques des espaces de modules de courbes; ce sera un survol avec les définitions, les résultats et les questions ouvertes, mais sans la démonstration du résultat principal. -
Christian Kassel
Une présentation de type tresse du groupe modulaire symplectique Sp_4(Z)
17 décembre 2012 - 11:00Salle de séminaires IRMA