Séminaire Quantique
organisé par l'équipe Algèbre, représentations, topologie
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Anderson Vera-Arboleda
Les homomorphismes de Johnson-Levine et la réduction arborée du foncteur LMO
15 janvier 2018 - 11:00Salle de séminaires IRMA
L'intéraction entre l'étude des 3-variétés et celui du mapping class group (MCG) est bien connue. Dans un certain sens, la structure algébrique du MCG et de ses sous-groupes se reflète dans la topologie des 3-variétés. Par exemple, le sous-groupe du MCG agisant trivialement en homologie, connu comme le groupe de Torelli, est lié aux sphères d'homologie. Pour cette famille de 3-variétés il existe un invariant (quantique) très puissant appelé l'invariant LMO, qui est assez misterieux en partie à cause de sa définition indirecte. Cet invariant admet une extension fonctorielle ; le foncteur LMO, entre une categorie des cobordismes et prenant ses valeurs dans une catégorie de graphes unitrivalents. Dans cet exposé on montrera que pour une certaine sous-catégorie de cobordismes, une partie des graphes arborées dans l'image du foncteur LMO peut être interpretée comme la version diagrammatique des homomorphismes de Johnson-Levine. -
Theodosios Douvropoulos
Geometric techniques in Coxeter-Catalan combinatorics
22 janvier 2018 - 11:00Salle de séminaires IRMA
A problem that goes back to Hurwitz and the 19th century is to enumerate (reduced) factorizations of the long cycle (12\cdots n)\in S_n into factors from prescribed conjugacy classes. As it happens, and this is a common theme in combinatorics, this question of the symmetric group has a meaningful analog for the other reflection groups as well: The long cycle is replaced by a Coxeter element c. Bessis gave a beautiful geometric interpretation of such factorizations by using a variant of the Lyashko-Looijenga (LL) map, a finite morphism coming from Singularity theory. In that setting, there is a natural bijective correspondence ("Trivialization Theorem") between points in a generic fiber of the LL-map, and reduced reflection factorizations of c. This was fundamental in Bessis' dual braid presentation of the generalized braid groups B(W), but relies on a numerological coincidence that is still only proven case-by-case! We review the important geometric properties of the LL map and present new results obtained by further analysis of its local behavior. These include enumerating wider classes of factorizations, as well as counting factorizations with prescribed symmetries (in fact, we prove various cyclic sieving phenomena). We also suggest a uniform approach towards the proof of the Trivialization Theorem. -
Hidekazu Furusho
A Betti counterpart of the harmonic coproduct (I)
29 janvier 2018 - 11:00Salle de séminaires IRMA
In earlier work, we proved that Racinet's double shuffle group is the stabilizer of the harmonic coproduct defined on a subalgebra of the free algebra over two generators relative to a certain action on this algebra. This leads to the construction of a family of new coproducts on the same algebra, depending on a scalar parameter, which are related with one another by scaling transformations. The double shuffle torsor can then be described as the set of elements taking the harmonic coproduct to the new coproduct. We identify the new coproduct with an explicit coproduct of a suitable subalgebra of the algebra of the free group with two generators. The proof relies on an interpretation of the harmonic coproduct in terms of infinitesimal braid Lie algebras, which is implicit in the unpublished work of Deligne and Terasoma from 2005. -
Benjamin Enriquez
A Betti counterpart of the harmonic coproduct (II)
5 février 2018 - 11:00Salle de séminaires IRMA
In earlier work, we proved that Racinet's double shuffle group is the stabilizer of the harmonic coproduct defined on a subalgebra of the free algebra over two generators relative to a certain action on this algebra. This leads to the construction of a family of new coproducts on the same algebra, depending on a scalar parameter, which are related with one another by scaling transformations. The double shuffle torsor can then be described as the set of elements taking the harmonic coproduct to the new coproduct. We identify the new coproduct with an explicit coproduct of a suitable subalgebra of the algebra of the free group with two generators. The proof relies on an interpretation of the harmonic coproduct in terms of infinitesimal braid Lie algebras, which is implicit in the unpublished work of Deligne and Terasoma from 2005. -
Louis-Hadrien Robert
Homologie sl(N) par les mousses
12 février 2018 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Le calcul MOY a été introduit dans les années 90 pour calculer combinatoirement les invariants quantiques associés à l'algèbre de Hopf Uq(sl(N)). Il associe à chaque graphe plan décoré un polynôme de Laurent en q. Dans cet exposé je décrirai un foncteur de type TQFT qui catégorifie ce calcul. J'expliquerai en quoi il permet une construction agréable de l'homologie sl(N) des entrelacs. Grace à ce foncteur, je donnerai un nouvel éclairage sur les anneaux de cohomologie des variétés de drapeaux. Travail en collaboration avec E. Wagner. -
Jitendra Bajpai
Arithmeticity and Thinness of hypergeometric groups
19 février 2018 - 11:00Salle de séminaires IRMA
The monodromy groups of hypergeometric differential equations of type $_nF_{n-1}$ are often called hypergeometric groups. These are subgroups of $GL_n$ . Recently, Arithmeticity and Thinness of these groups have caught a lot of attention. In the talk, a gentle introduction and recent progress to the theory of hypergeometric groups will be presented. -
Thomas Gerber
Cristaux et espaces de Fock de niveau supérieur
12 mars 2018 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Dans les années 90, Kashiwara a introduit la notion de cristal pour les représentations intégrables des groupes quantiques. Encodé dans un graphe, le cristal de Kashiwara reflète au niveau combinatoire certaines propriétés algébriques de la représentation. Pour une représentation particulière, l'espace de Fock, j'expliquerai l'existence d'un nouveau type de cristal provenant de l'action de l'algèbre de Heisenberg quantique, ses analogies avec le cristal de Kashiwara, et comment le calculer explicitement. J'évoquerai finalement comment les deux types de cristaux (Kashiwara et Heisenberg) permettent de résoudre par catégorification des problèmes fondamentaux en théorie des représentations modulaires (des groupes de réflexions et algèbres de Hecke ainsi que des groupes classiques finis).
Il s'agit en partie de travaux en commun avec Emily Norton.
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Vladimir Fock
Fonctions tau des courbes algébriques
26 mars 2018 - 11:00Salle de séminaires IRMA
La fonction tau est connue surtout comme une fonction génératrice des solutions des systèmes intégrables et elle est définie comme un certain déterminant dans un espace de dimension infinie. On montrera que cette fonction admet une définition équivalente comme une fonction sur les diviseurs généralisés ou bien comme le cas limite de fonctions génératrices de connections plates. On croit que cette approche est plus simple du point de vue calculatoire et conceptuel.
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Alexandre Bouayad
Déformations par potentiels de l'algèbre de Hopf U(sl2)
16 avril 2018 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Soit R un anneau local complet et soit m son ideal maximal. Par deformation de U(sl2), nous signifions ici déformation (formelle, au-dessus de R) de la structure d'algèbre de Hopf de U(sl2). On note R[u,v] l'anneau, complété par rapport à m, des polynômes à deux variables et à coefficients dans R. On note Phi(R) l'ensemble formé des unités de R[u,v] égales à 1 modulo m. Pour phi un element de Phi(R), nous expliciterons la construction, par dualité de Tannaka, d'une déformation U(phi) de U(sl2). Nous expliquerons comment l'ensemble Phi(R) fournit ainsi une paramétrisation naturelle, et fonctorielle en R, du groupoïde des déformations de U(sl2) -- le foncteur Phi étant représentable, l'algèbre U(phi) définit alors une déformation universelle à plusieurs paramètres de U(sl2), et de son automorphisme identité. Nous discuterons de quelle manière la dualité de Tannaka pour U(phi) pourrait être formalisée de manière plus exacte, et nous évoquerons les perspectives de ce travail. -
Jacinta Torres
Kostant Convexity and the Affine Grassmannian
30 avril 2018 - 11:00Salle de séminaires IRMA
We present some ideas and results towards a building-theoretical affine Grassmannian. One of our aims is to substitute many proofs carried out using relations in the Kac-Moody group using certain retractions. This is joint work in progress with Petra Schwer. -
Timo Richarz
The geometric Satake isomorphism over non-algebraically closed fields
7 mai 2018 - 11:00Salle de séminaires IRMA
The geometric Satake isomorphism of Lusztig, Ginzburg, Beilinson-Drinfeld, Mirkovic-Vilonen and Gaitsgory is one of the cornerstones of the geometric Langlands program. The isomorphism encodes the representation theory of reductive algebraic groups such as linear, orthogonal or symplectic groups in the geometry of a certain infinite dimensional variety called the affine Grassmannian. For applications in the (classical) Langlands program, it turns out to be useful to have a version of the geometric Satake isomorphism over a non-algebraically closed field which takes its Galois group into account. The talk aims at giving an introduction to the geometric Satake isomorphism over non-algebraically closed fields which is joint work with X. Zhu. -
Simon Riche
Formules de caractères pour les groupes algébriques réductifs en caractéristique positive
28 mai 2018 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Le problème central en théorie des représentations est, étant donné un groupe, de décrire autant que possible ses représentations "intéressantes", notamment celles qui sont simples. Par exemple, pour le cas des groupes finis et des représentations sur le corps des nombres complexes, la réponse est donnée par la théorie des caractères de Frobenius. Dans cet exposé on s'intéressera au cas des représentations des groupes algébriques réductifs (par exemple GLn) sur un corps algébriquement clos de caractéristique positive. Il a été longtemps espéré (et partiellement prouvé) que la réponse à la question dans ce cas était gouvernée par une conjecture de Lusztig (datant de 1980). Des progrès récents (dûs notamment à Geordie Williamson) ont montré que ce n'est en fait pas le cas en général. Nous exposerons quelques éléments de réponse à cette question (obtenus dans des travaux impliquant notamment P. Achar et G. Williamson), et quelques questions qui se posent encore. -
Francesco Sala
(Infinite) root stacks of a curve and the circle quantum group
11 juin 2018 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Hall algebras associated with abelian categories of homological dimension one provide a geometric way to realize Hopf algebras. For example, if we consider the category of representations of a quiver (without loops) over a finite field, the corresponding algebra is closely related to the quantum enveloping algebra of the Lie algebra of the quiver. On the other hand, Hall algebras associated with the categories of coherent sheaves on curves and on weighted projective lines provide a geometric realization of quantum affine (even toroidal) algebras. In the present talk, I will consider (infinite) root stacks of a curve, which can be seen as curves with a stacky point of "(in)finite order", and I will introduce their Hall algebras. As a consequence of this construction, I will define geometrically a quantum group associated with the circle. -
Travis Scrimshaw
Box-ball systems using rigged configurations
21 juin 2018 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Attention, horaire inhabituel !
The box-ball system of Takahashi and Satsuma can be considered as an ultradiscrete version of the Korteweg-de Vries (KdV) equation. The box-ball system and its generalizations can be described by a tensor product of crystals corresponding to Kirillov-Reshetikhin modules, certain finite-dimensional representations of an affine Lie algebra. The box-ball system has a "linearization" given by a bijection with combinatorial objects called rigged configurations that were introduced by Kerov, Kirillov, and Reshetikhin. In this talk, we discuss how (conjectural) properties of the box-ball system can be proven using rigged configurations. This talk will be combinatorial with no knowledge of representation theory or Lie algebras assumed. This is joint work with Xuan Liu. -
Dragos Fratila
Reunion d'organisation
19 septembre 2018 - 14:00Salle de séminaires IRMA
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Jacinta Torres
Generalizing LS galleries in affine buildings
17 octobre 2018 - 11:00Salle de séminaires IRMA
In 2005, Gaussent-Littelmann have interpreted LS galleries in terms of the geometry of affine grassmannians. I will present a generalization of this notion for any Littelmann model of galleries by keeping careful track of the ”load bearing walls” of these galleries. Finally I will present an interpretation of these load-bearing walls in terms of retractions in the affine building. This is joint work in progress with Petra Schwer. -
Sofiane Souaifi
Introduction à l’analyse de Fourier pour les espaces homogènes
28 novembre 2018 - 11:00Salle de séminaires IRMA
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Bernhard Krötz
Plancherel theory for real spherical spaces
5 décembre 2018 - 11:00Salle de séminaires IRMA
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François Bergeron
(GL_k x S_n)-Modules de polynômes harmoniques généralisés
12 décembre 2018 - 11:00Salle de séminaires IRMA
L’étude des modules de polynômes harmoniques diagonaux (en deux jeux de n\ variables) est étroitement liée à une réalisation de l’algèbre de Hall elliptique comme algèbre d’opérateurs sur les fonctions symétriques. Nous allons décrire des modules qui les généralisent dans deux directions : le cas dit “rectangulaire", et le cas multidiagonal (à savoir à k jeux de n variables). Ces constructions explicites permettent d’unifier plusieurs champs d’études des dernières années (touchant la géométrie algébrique, la combinatoire algébrique, la théorie de la représentation, la physique statistique, et aussi la théorie des nœuds). Nous allons esquisser certains des derniers développements s’y rattachant, et expliquer comment les propriétés de ces modules simplifient grandement plusieurs questions de l’heure en combinatoire algébrique ; en plus d'ouvrir la porte à de nombreuses nouvelles problématiques. -
Daniel Juteau
Support du module sphérique pour les algèbres de Cherednik rationnelles
19 décembre 2018 - 11:00Salle de séminaires IRMA
À un groupe de réflexions complexes W agissant sur un espace vectoriel complexe V, et une famille de paramètres c, on peut peut associer une algèbre de Cherednik rationnelle. Celle-ci a une représentation fidèle sur les polynômes sur V. La représentation polynomiale a un unique quotient simple L, dit module sphérique. Un problème de base est de déterminer le support du module sphérique (en tant que faisceau cohérent sur V). Dans un travail en commun avec Stephen Griffeth, nous donnons un critère pour déterminer ce support. Cela généralise des résultats de Varagnolo-Vasserot (groupes de Weyl, paramètres égaux) et d’Etingof (groupes de Coxeter).