Séminaire Quantique
organisé par l'équipe Algèbre, représentations, topologie
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Sakie Suzuki
The universal quantum invariant and colored ideal triangulations
16 janvier 2017 - 11:00Salle de séminaires IRMA
The Drinfeld double of a finite dimensional Hopf algebra is a quasi-triangular Hopf algebra with the canonical element as the universal R-matrix, and one can obtain a ribbon Hopf algebra by adding the ribbon element. The universal quantum invariant is an invariant of framed links, and is constructed using a ribbon Hopf algebra. In that construction, a copy of the universal R-matrix is attached to each crossing, and invariance under the Reidemeister III move is shown by the quantum Yang-Baxter equation of the universal R-matrix. On the other hand, R. Kashaev showed that the Heisenberg double has the canonical element (the S-tensor) satisfying the pentagon relation. In this talk we show a reconstruction of the universal quantum invariant using the Heisenberg double, and extend it to an invariant for colored singular triangulations of topological spaces, especially for colored ideal triangulations of tangle complements. In this construction, a copy of the S-tensor is attached to each tetrahedron, and the invariance under the colored Pachner (2,3) moves is shown by the pentagon relation of the S-tensor. -
Tristan Bozec
Algèbres de Hall cohomologiques et polynômes de Kac.
23 janvier 2017 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Cet exposé est lié à l’étude des algèbres de Hall cohomologiques associées à certaines variétés de représentations de carquois. Celles-ci suscitent un intérêt grandissant dans des domaines connexes à la théorie des cordes, contexte dans lequel il est important de considérer des carquois arbitraires, comme par exemple le carquois à un sommet et g boucles (on sait son étude reliée à celle des courbes de genre g). La première difficulté dans le cas des carquois arbitraires consiste à définir des analogues des variétés nilpotentes de Lusztig. Il est en effet nécessaire de considérer des représentations dites semi-nilpotentes dans le cas général pour obtenir des sous-variétés Lagrangiennes. Dans une collaboration avec Schiffmann et Vasserot, on réalise le décompte des points de ces variétés sur les corps finis, qui est relié à des analogues des polynômes de Kac. Ce décompte repose largement sur l’étude pointue de variétés carquois de Nakajima, qui jouent ici le rôle de compactifications. Ce décompte permet en fait de calculer le polynôme de Poincaré de l’algèbre de Hall cohomologique associée à ces variétés semi-nilpotentes. -
Pierre-Guy Plamondon
Polynômes de Kac pour les algèbres canoniques.
30 janvier 2017 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Étant donné une algèbre de dimension finie sur un corps fini, le nombre de modules indécomposables sur cette algèbre est parfois un polynôme en le cardinal du corps de base. Dans cet exposé, nous verrons que ces polynômes, appelés polynômes de Kac, existent dans le cas particulier des algèbres dites canoniques. (Travail en commun avec Olivier Schiffmann). -
Leandro Vendramin
The combinatorics of the Yang-Baxter equation
6 février 2017 - 11:00Salle de séminaires IRMA
The Yang-Baxter equation is an important tool in theoretical physics and pure mathematics, with many applications in different domains going from string theory to topology. The importance of this equation led Drinfeld to propose the following problem: studying set-theoretical solutions. In this talk we will review the basic theory of this family of solutions, we will discuss some problems and we will give some applications. -
Christian Blanchet
Trace modifiée sur le groupe quantique sl(2) restreint et invariants de Hennings logarithmiques.
13 février 2017 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Les invariants quantiques sl(2) de Witten-Reshetikin-Turaev n’utilisent que partiellement les représentations du groupe quantique : la semi-simplification néglige tous les modules de dimension quantique nulle, notamment le module de Steinberg utilisé dans la conjecture de Kashaev. Les invariants de Hennings sont construits directement dans le groupe quantique, version non semi-simple. Malheureusement ils s’annulent fréquemment et ne s’étendent, dans le cas factorisable, qu’en une TQFT faible. Nous présenterons la construction d’un invariant logarithmique de type Hennings pour le groupe quantique sl(2) à une racine 2p-ième de l’unité, noté ici U (relation K^2p=1) : (1) on définit une trace modifiée sur l’idéal des modules projectifs ; (2) on spécialise au cas de la représentation régulière et ses puissances tensorielles ; (3) on définit une évaluation pour un entrelacs colorié dans la sphère S^3, puis dans une variété. Ici l’entrelacs L=(L^-,L^+) est scindé. Les composantes de L^- et L^+ sont coloriées respectivement par des éléments de HH_0(U) et du centre Z(U). -
Benjamin Enriquez
Une interprétation des algèbres de double battage en termes de stabilisateurs.
27 février 2017 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Nous rappelons les résultats principaux de la théorie du double battage : les analogues cyclotomiques des valeurs zéta multiples (MZVs) satisfont un couple de collections de relations de battage et une collection de relations de régularisation. Le schéma formé à partir de ces relations a une structure de torseur sous un $\mathbb Q$-groupe algébrique prounipotent $\mathrm{DMR}_0$, qui est un sous-groupe algébrique d'un $\mathbb Q$-groupe algébrique prounipotent $\mathrm{MT}$ d'automorphismes extérieurs d'une algèbre de Lie libre ; l'algèbre de Lie $\mathfrak{dmr}_0$ de $\mathrm{DMR}_0$ est un sous-espace de l'algèbre de Lie $\mathfrak{mt}$ de $\mathrm{MT}$, défini par un couple de collections de relations de battage (Racinet) ; elle contient l'algèbre de Lie de Grothendieck-Teichmüller ou ses analogues cyclotomiques (Furusho). Nous montrons que l'algèbre de Lie $\mathfrak{dmr}_0$ s'identifie au stabilisateur d'un élément particulier d'un module sous $\mathfrak{mt}$, à savoir le coproduit harmonique. Ceci donne une variante de la démonstration de Racinet du fait que le sous-espace de $\mathfrak{mt}$ défini par conditions de battage est une algèbre de Lie, permet de définir des analogue "Betti" du coproduit harmonique et du groupe $\mathrm{DMR}_0$ et pose la question de l'explicitation de ces analogues. (Travail commun avec H. Furusho.) -
Bérénice Delcroix-Oger
Théorème de rigidité pour les nouvelles bigèbres généralisées
6 mars 2017 - 11:00Salle de séminaires IRMA
L'archétype du théorème de rigidité est le théorème de Hopf-Borel, démontré par Borel au début des années 1950. Ce théorème s'énonce ainsi : toute bigèbre de Hopf connexe est libre et colibre sur l'ensemble de ses éléments primitifs. Dans les années 2000, Loday a énoncé ce théorème en terme d'opérades et posé la question de l'existence d'un tel théorème pour n'importe quel type d'opérades. Emily Burgunder (IMT) et moi-même avons répondu à cette question en simplifiant les hypothèses du théorème de rigidité et généralisant les bigèbres considérées. Après avoir rappelé les notions nécessaires, je présenterai ces résultats et quelques unes de leurs applications. -
Gwénaël Massuyeau
Intégrale de Kontsevich et enchevêtrements dans les corps en anses
13 mars 2017 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Habiro a introduit la catégorie des « enchevêtrements dans les corps en anses », qui englobe à la fois les noeuds usuels dans S^3 et les groupes de difféotopie des corps en anses tridimensionnels. Nous rappellerons cette catégorie, avant d’expliquer comment l’intégrale de Kontsevich (originellement définie comme invariant de noeuds) s’y étend en un foncteur à valeurs dans une catégorie de nature purement combinatoire. Nous énoncerons une propriété d’universalité pour ce foncteur et, en guise de conclusion, nous préciserons son lien avec la TQFT issue de l’invariant de Le-Murakami-Ohtsuki. (Travail en collaboration avec Kazuo Habiro.) -
Hidekazu Furusho
On coefficients of Alekseev-Torossian associator
20 mars 2017 - 11:00Salle de séminaires IRMA
In my talk I will explain a method to calculate the coefficients of the Alekseev-Torossian associator as linear combinations of iterated integrals of Kontsevich weight forms of Lie graphs. -
Lukas Lewark
Khovanov-Rozansky homology in between positive and negative knots
27 mars 2017 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Which knots lie between positive and negative knots? More precisely, through which knots do smooth cobordisms of optimal genus between a positive and a negative knot factor? This is the case for many knots, but not for all: Khovanov-Rozansky homologies yield an obstruction. Those homology theories are categorifications of (a generalization of) the Jones polynomial. The talk does not require prior knowledge of knot theory. It is based on joint work with Feller and Lobb. -
Sam Gunningham
Categorical representation theory and harmonic analysis
10 avril 2017 - 11:00Salle de séminaires IRMA
In this talk I will survey some recent and ongoing work of myself and collaborators (David Ben-Zvi, David Nadler, Hendrik Orem) on categorical representations of a reductive group G, i.e. linear categories with a G-action. Many familiar categories appearing in geometric representation theory fit in to this framework, for example D-modules on a homogeneous space G/K and the category of (ordinary) representations of the Lie algebra. Some of the results include analogues of the highest weight theorem, Kostant's theorem on Whittaker modules, and a theory of spectral decomposition. These structures are organized by a certain topological field theory associated to G, which "computes" the cohomology of moduli of G-local systems on a topological surface (the subject of certain conjectures of Hausel and Rodriguez-Villegas) in terms of the categorical representations of G. -
Thomas Gobet
Phénomènes de positivité dans les algèbres de Hecke des groupes de Coxeter arbitraires
24 avril 2017 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Les algèbres de Hecke des groupes de Weyl finis ou affines sont centrales en théorie des représentations, en géométrie et en topologie de petite dimension notamment. En 1979, motivés par des questions reliées aux singularités des variétés de Schubert, Kazhdan et Lusztig ont introduit deux bases canoniques de ces algèbres. Ils en ont donné une définition purement combinatoire, qui se généralise aux algèbres de Hecke des groupes de Coxeter arbitraires, et ont formulé une conjecture dite "de positivité": la matrice de changement de base entre l'une des bases canoniques et la base dite standard ne devrait avoir pour coefficients que des polynômes à coefficients positifs. Si cette conjecture a été rapidement démontrée par Kazhdan et Lusztig (1980) dans le cas des groupes de Weyl (où les polynômes sont interprétés géométriquement), l'absence de techniques géométriques dans le cas général a longtemps constitué un obstacle à une approche générale, jusqu'aux travaux de Soergel (2007). Soergel a donné une catégorification algébrique de l'algèbre de Hecke d'un groupe de Coxeter arbitraire, qui fournit un remplacement à la géométrie (a priori) inexistante dans le cas général. Cette approche a permis une preuve récente de la conjecture de positivité en toute généralité par Elias et Williamson (2014). En utilisant l'approche de Soergel et les travaux d'Elias-Williamson, nous démontrons des généralisations de la conjecture de positivité et de son analogue "inverse", conjecturées par Dyer (1987). Ceci nécessite l'introduction de filtrations "tordues" de bimodules de Soergel, ainsi que de généralisations des bases standard de l'algèbre de Hecke, reliées aux tresses Mikado et à des questions touchant aux groupes d'Artin-Tits. -
Ana Agore
The factorization problem for Hopf algebras
15 mai 2017 - 11:00Salle de séminaires IRMA
I will survey some recent and ongoing work on the factorization problem and the newly introduced classifying complements problem in the context of Hopf algebras. Among several applications and examples, all Hopf algebras which factorize thorugh the Taft Hopf algebra and the group Hopf algebra of a cyclic group are described by generators and relations. Furthermore, using Dirichlet’s prime number theorem we are able to count the number of isomorphism types of such Hopf algebras. -
Benjamin Audoux
Classification des anneaux noués à link-homotopie près
29 mai 2017 - 11:00Salle de séminaires IRMA
La théorie des nœuds étudie l'enlacement d'une variété connexe plongée avec elle-même. La théorie des entrelacs fait de même, mais dans le cas non connexe. La notion de "link-homotopie", introduite par Milnor, autorise les déformations où une composante connexe s'intersecte elle-même; en un sens, il s'agit d'étudier la théorie des entrelacs quotienté par la théorie des nœuds. Habegger et Lin ont donné, à link-homotopie près, une classification complète des intervalles noués (à bords fixés). Dans cet exposé, nous donnerons une telle classification des anneaux noués (à bords fixés). En chemin, nous aborderons la représentation 3-dimensionelle des surfaces nouées en dimension 4, et nous introduirons une sous-classe des surfaces nouées fortement liée à une généralisation combinatoire des entrelacs classiques. -
Anne-Laure Thiel
Action catégorique du groupe de tresses du cylindre
12 juin 2017 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Dans leurs travaux fondateurs, Khovanov et Seidel ont utilisé la nature polymorphe du groupe de tresses usuel (ie de type A fini) et ses diverses définitions (présentation diagrammatique, mapping class group...) pour construire une action catégorique de ce groupe qui catégorifie la célèbre représentation linéaire de Burau. Le fait notable est que cette action catégorique détecte des propriétés topologiques plus fines ce qui assure sa fidélité contrairement à la représentation linéaire. Le but de cet exposé est de décrire une généralisation de leur approche à un autre groupe d'Artin, celui de type B - alias groupe de tresses du cylindre ou de type A affine étendu. Travail en commun avec Agnès Gadbled et Emmanuel Wagner. -
Alexandre Shapiro
Positive representations of quantum groups
15 juin 2017 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Positive representations are certain bimodules for a quantum group and its modular dual. In 2001, Ponsot and Teschner constructed these representations for SL(2) and proved that they form a braided monoidal category. Ten years later, their construction was generalized to all other types by Frenkel and Ip. Although the corresponding categories were braided more or less by construction, it remained a conjecture that they are monoidal. Following a joint work in progress with Gus Schrader, I will discuss the proof of this conjecture for SL(N). The proof is based on our previous work where the quantum group is realized as a quantum cluster X-variety. If time permits, I will outline a relation between this story and the modular functor conjecture in higher Teichmuller theory along with several other applications. -
Nao Komiyama
On equivalence between special values of multiple zeta functions at negative integers
19 juin 2017 - 11:00Salle de séminaires IRMA
There are infinitely many singularities of multiple zeta functions at non-positive integers and the special values are indeterminate there. So it is a fundamental problem to give the meaningful special values of multiple zeta functions at non-positive integers. As one approach, Furusho, Komori, Matsumoto and Tsumura introduced the desingularization method to resolve all singularities. On the other hand, Ebrahimi-Fard, Manchon and Singer introduced the renormalization procedure à la Connes and Kreimer. In my talk, I will explain an explicit relationship between special values which are obtained by the above two methods. -
Dragos Fratila
Réunion d'organisation
11 septembre 2017 - 11:00Salle de séminaires IRMA
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Aurélien Djament
Homologie des groupes de congruence et foncteurs polynomiaux
18 septembre 2017 - 11:00Salle de séminaires IRMA
On se propose d'expliquer comment montrer que l'homologie en degré d des groupes de congruence (dans les groupes linéaires) associés à un anneau sans unité arbitraire I définit un foncteur polynomial de degré au plus 2d en un sens approprié. On énoncera un résultat plus précis, qui donne un meilleur contrôle sur le degré et la "taille" exacts de ce foncteur, permettant de généraliser un théorème de Suslin (1995) caractérisant en termes homologiques l'excisivité en K-théorie algébrique et décrivant (stablement et modulo un terme constant) l'homologie des groupes de congruence en le plus petit degré non excisif. Notre résultat généralise également des résultats de polynomialité analogues obtenus récemment à l'aide de l'étude homologique des FI-modules (foncteurs des ensembles finis avec injections vers les groupes abéliens) par Putman, Church, Ellenberg, Farb, Nagpal, Miller, Reinhold pour certaines classes particulières d'anneaux sans unité. Notre approche repose sur une suite spectrale reliant l'homologie stable de groupes "de type congruence" à de l'homologie des foncteurs dans un cadre très général ainsi que sur l'étude de plusieurs structures multiplicatives et de certaines extensions de Kan dérivées sur des foncteurs polynomiaux. -
Dragos Fratila
Espace de modules des G-torseurs sur une courbe elliptique
25 septembre 2017 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Les fibres vectoriels semistables sur une courbe elliptique peuvent etre decrit d'une facon tres jolie et assez elementaire en fonction des fibres en droites et le groupe symmetrique (resultat d'Atiyah). On en deduit une expression de l'espace de modules de fibres vectoriels en termes de fibres en droites. J'essayerai de vous montrer comment on peut faire cela pour d'autres groupes reductifs G. -
Mauro Porta
Théorèmes de HKR
2 octobre 2017 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Résumé : Dans cet exposé j'expliquerai l'approche de B. Toën et G. Vezzosi au théorème de Hochschild-Kostant-Rosenberg. Classiquement, ce théorème nous donne un isomorphisme entre l'homologie de Hochschild d'une algèbre lisse A et son cohomologie de de Rham. En utilisant techniques propres à la géométrie dérivée, B. Toën et G. Vezzosi généralisent ce résultat au cas des algèbres non lisses; de plus, leur méthode permet d'obtenir un isomorphisme multiplicatif et équivariant dans un sens spécifique. Au cours de l'exposé, je donnerai une nouvelle preuve de la version améliorée du théorème HKR, qui repose sur des techniques infini-catégoriques plus fines. Si le temps me permettra, j'expliquerai comme cette nouvelle preuve se laisse généraliser au cadre analytique non-archimédien, où le résultat est complètement nouveau. -
Leila Schneps
Valeurs multizétas elliptiques et associateurs elliptiques
16 octobre 2017 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Nous rappellerons rapidement la définition de l'associateur elliptique, et des EMZVs, qui sont des fonctions sur le demi-plan complexe supérieur, coefficients de cet objet (Enriquez). A partir de l'associateur Phi_KZ classique de Drinfeld, et en utilisant la théorie des moules d'Ecalle, nous définirons une série génératrice E pour les EMZVs, dont les coefficients forment une nouvelle famille de générateurs de l'algèbre des EMZV. Nous montrerons que E satisfait des relations de "double mélange elliptique", analogues des relations connues en genre zéro pour Phi_KZ. Nous relierons notre série génératrice E à l'associateur elliptique en montrant (i) comment obtenir l'associateur elliptique à partir de E (ii) que les relations de double mélange elliptique satisfaites par E impliquent des relations connues sur l'associateur elliptique. -
Andrea Appel
Monodromie de la connexion de Casimir et catégories de Coxeter
23 octobre 2017 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Une catégorie de Coxeter est une catégorie monoïdale tressée qui porte une action d'un groupe de tresses généralisé sur les puissances tensorielles de ses objets. Les éléments et l’axiomatique qui définissent cette action ressemblent aux contraintes d’associativité s et de commutativité d'une une catégorie monoïdale tressée, mais représentent plutôt la cohérence d'une famille de foncteurs fibre. Je décrirai comment construire une telle structure sur les représentations intégrables de catégorie O d'une algèbre de Kac-Moody symétrisable, de manière à incorporer la monodromie des connexions KZ et Casimir associées. La rigidité de cette structure implique en particulier que la monodromie de cette dernière connexion est donnée par les opérateurs du groupe de Weyl quantique. (Travail en commune avec V. Toledano Laredo)
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Olivier Schiffmann
Comptage de cuspidaux pour les carquois et les courbes
6 novembre 2017 - 11:00Salle de séminaires IRMA
On considère le problème de compter la dimension des espaces de fonctions cuspidales sur les espaces de modules (i.e. champs) de représentations de carquois / fibrés vectoriels sur une courbe projective lisse, définis sur un corps fini. Nous montrons que ce comptage est polynomial (en la taille du corps fini) dans le cas des carquois et proposons une approche basée sur la notion d'algèbre de battage dans le cas des courbes. Ces comptages sont liés aux polynômes de Kac (comptant les repreésentations / fibrés indeécomposables) ainsi qu'aux algèbres de Hall cohomologiques et aux Yangiens de Maulik-Okounkov. -
Alexander Thomas
Une nouvelle construction en théorie de Teichmüller supérieure
13 novembre 2017 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Dans cet exposé j'introduis une nouvelle structure géométrique sur des surfaces topologiques généralisant la structure complexe. La définition fait intervenir la géométrie complexe, syplectique et algébrique. L'outil principal est le schéma de Hilbert ponctuel du plan. L'espace des modules de cette nouvelle structure est conjecturalement isomorphe à la composante de Hitchin de la variété de caractères. Travail en commun avec Vladimir Fock. -
Adam Gal
Higher Hall algebras
20 novembre 2017 - 11:00Salle de séminaires IRMA
We recall the notion of a hall algebra associated to a category, and explain how this construction can be done in a way that naturally includes a higher algebra structure, motivated by work of Toen and Dyckerhoff-Kapranov. We will then explain how this leads to new insights about the bi-algebra structure and related concepts. -
Petr Grinevich
KP theory, planar bipartite networks in a disk and rational degeneration of M-curves
27 novembre 2017 - 11:00Salle de séminaires IRMA
The KP-2 equation admits solutions which are non-linear superpositions of plane waves. They are constructed in terms totally non-negative matrices. It is also known, that real regular finite-gap solutions correspond to M-curves -- real algebraic curves with maximal possible number of real ovals. We present a construction, associating to each totally non-negative matrix a rational M-curve. We also show that each real regular mutlisoliton solution can be obtained as a degeneration of a real regular finite-gap solution. -
Ivan Marin
Des extensions naturelles pour les algèbres de Hecke
11 décembre 2017 - 09:30Salle de séminaires IRMA
Les algèbres de Hecke, qui permettent d'obtenir les représentations les plus classiques du groupe de tresses usuel, ont été généralisées aux groupes de tresses des groupes de réflexions complexes par Broué, Malle et Rouquier (1998), au prix d'une conjecture dont la démonstration vient d'être complétée cette année. Après avoir passé en revue cette construction, nous construirons des extensions naturelles de ces algèbres de Hecke (généralisées), qui placent dans un cadre naturel et général des algèbres diagrammatiques ("braids and ties") antérieurement introduites par Aicardi et Juyumaya dans leur étude de l'algèbre de Yokonuma-Hecke de type A. -
Giovanni Felder
Commuting matrices, Macdonald identities and supersymmetric gauge theory
11 décembre 2017 - 11:00Salle de séminaires IRMA
I will introduce the notion of representation homology, following Berest, Khatchatrian and Ramadoss, and discuss some examples, applications and open problems about pairs of commuting matrices, generalizations of Macdonald constant term identitites and the Nekrasov partition function of N=2 supersymmetric gauge theory. The talk is based on joint work with Y. Berest, M. Müller-Lennert, S. Patotski, A. Ramadoss and T. Willwacher. -
Sakie Suzuki
The universal quantum invariant and colored ideal triangulations
18 décembre 2017 - 11:00Salle de séminaires IRMA
The Drinfeld double of a finite dimensional Hopf algebra is a quasi-triangular Hopf algebra with the canonical element as the universal R-matrix, and one can obtain a ribbon Hopf algebra by adding the ribbon element. The universal quantum invariant of framed links is constructed using a ribbon Hopf algebra. In that construction, a copy of the universal R-matrix is attached to each crossing, and invariance under the Reidemeister III move is shown by the quantum Yang-Baxter equation of the universal R-matrix. On the other hand, the Heisenberg double of a finite dimensional Hopf algebra has the canonical element (the S-tensor) satisfying the pentagon relation. In this talk we reconstruct the universal quantum invariant using the Heisenberg double, and extend it to an invariant of equivalence classes of colored ideal triangulations of 3-manifolds up to colored moves. In this construction, a copy of the S-tensor is attached to each tetrahedron, and invariance under the colored Pachner (2,3) moves is shown by the pentagon relation of the S-tensor.