Séminaire Algèbre et topologie
organisé par l'équipe Algèbre, représentations, topologie
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Federico Zerbini
Analogues des fonctions hyperlogarithmes sur une courbe affine
10 janvier 2023 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Résumé : Les hyperlogarithmes sont des fonctions multivaluées sur le complémentaire d'un ensemble fini $S$ dans le plan complexe, obtenues comme intégrales itérées de formes différentielles rationnelles (Poincaré, Lappo-Danilevskii). Ces fonctions généralisent les polylogarithmes classiques, et ont été appliquées notamment au calcul d'intégrales de Feynman en physique, et à la démonstration par Brown d'une conjecture de Goncharov-Manin sur les périodes de $\mathfrak M_{0,n}$. Avec les fonctions régulières sur $\mathbb C-S$, les hyperlogarithmes engendrent une algèbre de fonctions à croissance modérée aux cusps et à monodromie unipotente, qui est fermée sous l'opération de primitivation, et dont la structure algébrique est bien comprise. On présente la construction d'algèbres de fonctions multivaluées analogues pour $\mathbb C-S$ remplacé par une courbe complexe affine quelconque (travail commun avec B. Enriquez). -
Jacques Darné
Rigidité profinie et coloriages par des quandles finis
17 janvier 2023 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Les quandles sont des structures algébriques introduites indépendamment par Joyce et Matveev en 1982 afin de colorier des nœuds et des entrelacs. En particulier, tout quandle fini $Q$ induit un invariant d'entrelacs, qui associe à l'entrelacs $L$ est le nombre $col(L,Q)$ de coloriages possibles de $L$ par les éléments de $Q$. On peut se demander à quel point ces invariants sont précis : étant donné deux entrelacs $L$ et $L'$ distincts, existe-t-il toujours un quandle fini $Q$ tel que $col(L,Q)$ soit différent de $col(L', Q)$ ? On conjecture que c'est le cas, à condition que $L'$ ne puisse pas être obtenu en prenant l'image miroir d'une partie de $L$. Le but de cet exposé n'est pas de montrer cette difficile conjecture, mais de montrer qu'on peut la reformuler en des termes proches des questions classiques de rigidité profinie. Ce qui nous mènera à explorer un peu la théorie des quandles profinis. -
Ismaïl Razack
Cohomologie d'Hochschild des algèbres d'intersection
24 janvier 2023 - 15:15Salle de séminaires IRMA
Résumé : L'algèbre d'intersection d'une variété lisse consiste en l'algèbre des chaînes singulières (ou des cochaînes singulières) munie du produit d'intersection (ou du cup produit). La dualité de Poincaré implique l'existence de structures algébriques (Batalin-Vilkovisky) sur la cohomologie de Hochschild de cette algèbre. Une interprétation topologique de ces structures est donnée en termes d'espaces de lacets. Dans cet exposé, nous nous intéressons au cas des espaces
topologiques possédant des singularités.
En général, pour ces espaces, la dualité de Poincaré n'est plus vérifiée. Afin de la restaurer, M. Goresky et R. MacPherson ont
introduit les complexes d'intersection qui possède une structure d'algèbre différentielle graduée perverse. Nous définirons la
(co)homologie d'Hochschild pour ce type d'objet et verrons sous quelles conditions on retrouve une algèbre de Batalin-Vilkovisky. Nous
présenterons ces structures non triviales à travers quelques exemples. -
Justine Falque
Classification des groupes P-oligomorphes, conjectures de Cameron et Macpherson
31 janvier 2023 - 15:15Salle de conférences IRMA
Étant donné un groupe de permutation infini G, on définit la fonction qui
à tout entier naturel n associe le nombre d'orbites de sous-ensembles de
taille n, pour l'action induite de G sur les sous-ensembles d'éléments.
Cameron a conjecturé que cette fonction de comptage (le profil de G) est
équivalente à un polynôme si elle est bornée par un polynôme.
Une autre conjecture, plus forte, a été émise plus tard par Macpherson.
Elle concerne une certaine structure d'algèbre graduée sur les orbites
de sous-ensembles, créée par Cameron, et suppose que si le profil de G
est polynomial, alors son algèbre des orbites est de type fini.
L'exposé présentera les objets et le contexte, puis donnera quelques
éléments de preuve d'une classification des groupes de profil borné par
un polynôme (à clôture près), un travail en commun avec Nicolas Thiéry
qui apporte une compréhension profonde de ces groupes et démontre en
particulier les deux conjectures. En fournissant un encodage fini de ces
groupes infinis, la classification permet aussi une approche
algorithmique et un modèle naturel d'implémentation pour ces groupes.
Les méthodes utilisées impliquent en particulier l'étude du treillis des
systèmes de blocs, l'exploration informatique de certaines parties du
problème, ainsi que des outils de formalisation issus de la théorie des
groupes. -
Tristan Bozec
Structures Calabi-Yau et espaces de représentations
7 février 2023 - 14:00Salle de conférences IRMA
Brav et Dyckerhoff ont montré que, dans un contexte approprié, les structures dites Calabi-Yau (CY) en algèbre noncommutative induisent des structures lagrangiennes sur les espaces de représentations. Je vais donner des applications de ce principe dans le cadre des carquois en exhibant de nouvelles sous-variétés lagrangiennes du schéma de Hilbert de points sur le plan, correspondant à des lieux critiques dits relatifs ou contraints. J'expliquerai aussi comment ces structures CY recouvrent des notions standard en géométrie Poisson et (quasi)Hamiltoniennes, et comment elles donnent lieu à une nouvelle théorie topologique des champs (TFT) si le temps le permet. C'est un rapport sur des travaux réalisés avec Damien Calaque et Sarah Scherotzke. -
David Kern
Action de membranes pour les invariants de Gromov–Witten orbifoldes catégorifiés
14 février 2023 - 14:00Salle de conférences IRMA
Les invariants de Gromov–Witten permettent de construire une théorie cohomologique des champs, une algèbre sur l'opérade des homologies d'espaces de modules de courbes, qui déforme la structure d'algèbre de Frobenius sur la cohomologie d'une variété projective lisse. Lorsque la cible est une orbifolde, la structure idoine s'exhibe sur (une décomposition cyclotomique de) son champ de lacets.
Nous allons expliquer comment, suivant les travaux de Mann–Robalo pour les cibles schématiques, on peut grâce à la géométrie dérivée relever cette structure du cadre cohomologique à celui catégorique et même géométrique. La construction repose sur le phénomène d'action de membranes pour les ∞-opérades découvert par Toën, et produit de manière automatique les champs de lacets à partir de données opéradiques. -
Léa Bittmann
Des applications arithmétiques de la dualité de Schur-Weyl affine quantique
28 février 2023 - 14:00Web-séminaire
La dualité de Schur-Weyl affine quantique donne une équivalence de catégories entre certaines représentations des algèbres affines quantiques de type A et celles des algèbres de Hecke affines, et donc des représentations p-adiques de $GL_n$. A travers cette équivalence, certains résultats peuvent être directement traduits entre les deux domaines. Plus en détails, quand l'algèbre affine est de bas rang, l'équivalence peut se rompre et la traduction doit être adaptée. Dans cet exposé, nous verrons plusieurs exemples de transcriptions de résultats sur les représentations p-adiques vers les représentations affines quantiques. Une des motivations provient des structures d'algèbres amassées sur ces dernières. -
Hubert Rubenthaler
Fonctions zêta (et leur équation fonctionnelle) pour une classe d’espaces symétriques p-adiques
21 mars 2023 - 14:00Salle de séminaires IRMA
(Travail en cours, en collaboration avec Pascale Harinck, CNRS, Ecole Polytechnique). Nous définissons et étudions la structure d’une classe d’espaces symétriques p-adiques G/H associés aux 3-graduation des algèbres de Lie simples. Nous associons une fonction zêta locale à toute représentation admissible irréductible de G qui est H-sphérique (c’est à dire qui admet une forme linéaire H-invariante). Nous montrons, en nous inspirant des travaux de Li, que cette fonction zêta vérifie une équation fonctionnelle. Nous explicitons cette équation fonctionnelle pour les représentations de la série principale H-sphérique minimale.