Séminaire Algèbre et topologie
organisé par l'équipe Algèbre, représentations, topologie
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Federico Zerbini
Analogues des fonctions hyperlogarithmes sur une courbe affine
10 janvier 2023 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Résumé : Les hyperlogarithmes sont des fonctions multivaluées sur le complémentaire d'un ensemble fini $S$ dans le plan complexe, obtenues comme intégrales itérées de formes différentielles rationnelles (Poincaré, Lappo-Danilevskii). Ces fonctions généralisent les polylogarithmes classiques, et ont été appliquées notamment au calcul d'intégrales de Feynman en physique, et à la démonstration par Brown d'une conjecture de Goncharov-Manin sur les périodes de $\mathfrak M_{0,n}$. Avec les fonctions régulières sur $\mathbb C-S$, les hyperlogarithmes engendrent une algèbre de fonctions à croissance modérée aux cusps et à monodromie unipotente, qui est fermée sous l'opération de primitivation, et dont la structure algébrique est bien comprise. On présente la construction d'algèbres de fonctions multivaluées analogues pour $\mathbb C-S$ remplacé par une courbe complexe affine quelconque (travail commun avec B. Enriquez). -
Jacques Darné
Rigidité profinie et coloriages par des quandles finis
17 janvier 2023 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Les quandles sont des structures algébriques introduites indépendamment par Joyce et Matveev en 1982 afin de colorier des nœuds et des entrelacs. En particulier, tout quandle fini $Q$ induit un invariant d'entrelacs, qui associe à l'entrelacs $L$ est le nombre $col(L,Q)$ de coloriages possibles de $L$ par les éléments de $Q$. On peut se demander à quel point ces invariants sont précis : étant donné deux entrelacs $L$ et $L'$ distincts, existe-t-il toujours un quandle fini $Q$ tel que $col(L,Q)$ soit différent de $col(L', Q)$ ? On conjecture que c'est le cas, à condition que $L'$ ne puisse pas être obtenu en prenant l'image miroir d'une partie de $L$. Le but de cet exposé n'est pas de montrer cette difficile conjecture, mais de montrer qu'on peut la reformuler en des termes proches des questions classiques de rigidité profinie. Ce qui nous mènera à explorer un peu la théorie des quandles profinis. -
Ismaïl Razack
Cohomologie d'Hochschild des algèbres d'intersection
24 janvier 2023 - 15:15Salle de séminaires IRMA
Résumé : L'algèbre d'intersection d'une variété lisse consiste en l'algèbre des chaînes singulières (ou des cochaînes singulières) munie du produit d'intersection (ou du cup produit). La dualité de Poincaré implique l'existence de structures algébriques (Batalin-Vilkovisky) sur la cohomologie de Hochschild de cette algèbre. Une interprétation topologique de ces structures est donnée en termes d'espaces de lacets. Dans cet exposé, nous nous intéressons au cas des espaces
topologiques possédant des singularités.
En général, pour ces espaces, la dualité de Poincaré n'est plus vérifiée. Afin de la restaurer, M. Goresky et R. MacPherson ont
introduit les complexes d'intersection qui possède une structure d'algèbre différentielle graduée perverse. Nous définirons la
(co)homologie d'Hochschild pour ce type d'objet et verrons sous quelles conditions on retrouve une algèbre de Batalin-Vilkovisky. Nous
présenterons ces structures non triviales à travers quelques exemples. -
Justine Falque
Classification des groupes P-oligomorphes, conjectures de Cameron et Macpherson
31 janvier 2023 - 15:15Salle de conférences IRMA
Étant donné un groupe de permutation infini G, on définit la fonction qui
à tout entier naturel n associe le nombre d'orbites de sous-ensembles de
taille n, pour l'action induite de G sur les sous-ensembles d'éléments.
Cameron a conjecturé que cette fonction de comptage (le profil de G) est
équivalente à un polynôme si elle est bornée par un polynôme.
Une autre conjecture, plus forte, a été émise plus tard par Macpherson.
Elle concerne une certaine structure d'algèbre graduée sur les orbites
de sous-ensembles, créée par Cameron, et suppose que si le profil de G
est polynomial, alors son algèbre des orbites est de type fini.
L'exposé présentera les objets et le contexte, puis donnera quelques
éléments de preuve d'une classification des groupes de profil borné par
un polynôme (à clôture près), un travail en commun avec Nicolas Thiéry
qui apporte une compréhension profonde de ces groupes et démontre en
particulier les deux conjectures. En fournissant un encodage fini de ces
groupes infinis, la classification permet aussi une approche
algorithmique et un modèle naturel d'implémentation pour ces groupes.
Les méthodes utilisées impliquent en particulier l'étude du treillis des
systèmes de blocs, l'exploration informatique de certaines parties du
problème, ainsi que des outils de formalisation issus de la théorie des
groupes. -
Tristan Bozec
Structures Calabi-Yau et espaces de représentations
7 février 2023 - 14:00Salle de conférences IRMA
Brav et Dyckerhoff ont montré que, dans un contexte approprié, les structures dites Calabi-Yau (CY) en algèbre noncommutative induisent des structures lagrangiennes sur les espaces de représentations. Je vais donner des applications de ce principe dans le cadre des carquois en exhibant de nouvelles sous-variétés lagrangiennes du schéma de Hilbert de points sur le plan, correspondant à des lieux critiques dits relatifs ou contraints. J'expliquerai aussi comment ces structures CY recouvrent des notions standard en géométrie Poisson et (quasi)Hamiltoniennes, et comment elles donnent lieu à une nouvelle théorie topologique des champs (TFT) si le temps le permet. C'est un rapport sur des travaux réalisés avec Damien Calaque et Sarah Scherotzke. -
David Kern
Action de membranes pour les invariants de Gromov–Witten orbifoldes catégorifiés
14 février 2023 - 14:00Salle de conférences IRMA
Les invariants de Gromov–Witten permettent de construire une théorie cohomologique des champs, une algèbre sur l'opérade des homologies d'espaces de modules de courbes, qui déforme la structure d'algèbre de Frobenius sur la cohomologie d'une variété projective lisse. Lorsque la cible est une orbifolde, la structure idoine s'exhibe sur (une décomposition cyclotomique de) son champ de lacets.
Nous allons expliquer comment, suivant les travaux de Mann–Robalo pour les cibles schématiques, on peut grâce à la géométrie dérivée relever cette structure du cadre cohomologique à celui catégorique et même géométrique. La construction repose sur le phénomène d'action de membranes pour les ∞-opérades découvert par Toën, et produit de manière automatique les champs de lacets à partir de données opéradiques. -
Léa Bittmann
Des applications arithmétiques de la dualité de Schur-Weyl affine quantique
28 février 2023 - 14:00Web-séminaire
La dualité de Schur-Weyl affine quantique donne une équivalence de catégories entre certaines représentations des algèbres affines quantiques de type A et celles des algèbres de Hecke affines, et donc des représentations p-adiques de $GL_n$. A travers cette équivalence, certains résultats peuvent être directement traduits entre les deux domaines. Plus en détails, quand l'algèbre affine est de bas rang, l'équivalence peut se rompre et la traduction doit être adaptée. Dans cet exposé, nous verrons plusieurs exemples de transcriptions de résultats sur les représentations p-adiques vers les représentations affines quantiques. Une des motivations provient des structures d'algèbres amassées sur ces dernières. -
Hubert Rubenthaler
Fonctions zêta (et leur équation fonctionnelle) pour une classe d’espaces symétriques p-adiques
21 mars 2023 - 14:00Salle de séminaires IRMA
(Travail en cours, en collaboration avec Pascale Harinck, CNRS, Ecole Polytechnique). Nous définissons et étudions la structure d’une classe d’espaces symétriques p-adiques G/H associés aux 3-graduation des algèbres de Lie simples. Nous associons une fonction zêta locale à toute représentation admissible irréductible de G qui est H-sphérique (c’est à dire qui admet une forme linéaire H-invariante). Nous montrons, en nous inspirant des travaux de Li, que cette fonction zêta vérifie une équation fonctionnelle. Nous explicitons cette équation fonctionnelle pour les représentations de la série principale H-sphérique minimale. -
Alex Suciu
Algebra and topology of group extensions
28 mars 2023 - 14:00Salle de séminaires IRMA
I will present a study of the lower central series, the Alexander invariants, and the cohomology jump loci of groups occurring as extensions with trivial monodromy in first homology with appropriate coefficients. I will illustrate these concepts with examples arising from the Milnor fibration of the complement of a hyperplane arrangement and with the Bestvina--Brady groups associated to right-angled Artin groups. -
Alexander Efimov
Localizing invariants and localizing motives
4 avril 2023 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Résumé : I will give an overview of my recent results on localizing invariants of small stable infinity-categories. In particular, I will explain the comparison result on two approaches to K-theory of formal schemes: the usual continuous K-theory is equivalent to K-theory of the category of nuclear modules, defined by Clausen and Scholze. This result turns out to be a special case of a computation of morphisms in the category of localizing motives -- the target of the universal localizing invariant commuting with filtered colimits. One of the more striking new results about this category is its rigidity (in the sense of Gaitsgory and Rozenblyum). Also, certain classical invariants of E_1 rings become corepresentable in this framework, such as TR and TC. I will try to give a non-technical overview of these statements and the key ideas on how to work with this category of motives. -
Yifei Zhao
Langlands parametrization for covering groups
2 mai 2023 - 14:00Salle de séminaires IRMA
The Langlands program posits that automorphic forms associated to a reductive group are parametrized by Galois representations valued in its dual group. About ten years ago, Weissman-Gan-Gao proposed an extension of the Langlands program which puts covering groups (such as the metaplectic group) under the same framework. In this talk, I will introduce a formalism of covering groups based on étale cohomology and explain its applications to the Langlands program. -
Nikita Markarian
Multiple zeta values
17 mai 2023 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Mini-cours "Multiple zeta values and their generalizations" (partie 1/4) I will discuss classical and well-known facts about multiple zeta values: integral and series representation, shuffle, stuffle and regularized double shuffle relations between them. -
Nikita Markarian
Cell zeta values
17 mai 2023 - 14:00Salle C8
Mini-cours "Multiple zeta values and their generalizations" (partie 2/4) I will discuss cell zeta values, the relations between them some of which I introduced in my work, and how these relations allow one to prove stuffle relations in terms of integral representation of multiple zeta values. -
Nikita Markarian
Stokes relations and Kaneko-Yamamoto relations
22 mai 2023 - 11:00Salle de séminaires IRMA
Mini-cours "Multiple zeta values and their generalizations" (partie 3/4) I will discuss Stokes relations among cell zeta values. I will discuss the conjecture stating that relations between cell zeta values introduced in the previous lecture jointly with Stokes relations imply Kaneko-Yamamoto relations, which are known to be equivalent to regularized double shuffle relations. -
Nikita Markarian
Operads and big zeta values
22 mai 2023 - 14:00Salle C8
Mini-cours "Multiple zeta values and their generalizations" (partie 4/4) I will discuss a question about the planar Gerstenhaber operad, which is connected with multiple and cell zeta values. Besides we will sketch another approach to understanding cell zeta values - big zeta values. -
Martin Markl
Transfers of strongly homotopy structures as Grothendieck bifibrations
19 septembre 2023 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Résumé : It is well-known that strongly homotopy structures can be transferred over chain homotopy equivalences. Using the uniqueness results of Markl & Rogers we show that the transfers could be organized into a discrete Grothendieck bifibration. An immediate aplication is e.g. functoriality up to isotopy. -
Frédéric Chapoton
Poset et catégories Calabi-Yau fractionnaires
3 octobre 2023 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Résumé : Certaines familles d'objets combinatoires classiques sont énumérées par des formules de type produit sur produit. On donnera quelques exemples, et on expliquera comment le même genre de formule apparait pour donner les nombres de Milnor de singularités quasi-homogènes isolées. La relation entre ces deux cotés devrait passer par des équivalences dérivées entre les catégories de modules sur certains ordres partiels et des catégorie de type Fukaya, du type de celles considérées par Seidel. -
Violeta Borges Marques
Deformations of quasi-categories in modules
10 octobre 2023 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Résumé : Templicial objects were introduced by Lowen-Mertens as suitable replacements for simplicial objects in a non-cartesian monoidal context. After introducing the formalism of templicial objects and exploring some of its most important features, we define deformations of templicial modules and show that two important subclasses of templicial modules - quasi-categories and deg-projectives - are stable under level-wise flat deformation. In the end, we will introduce a complex that controls infinitesimal deformations and obstructions. -
Yvain Bruned
Composition and substitution of Regularity Structures B-series
24 octobre 2023 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Résumé: In this talk, we will introduce the notion of Regularity Structures B-series which are used for describing solutions of singular stochastic partial differential equations (SPDEs). We define composition and substitution of these B-series and as in the context of B-series for ordinary differential equations, these two operations can be rewritten using convolution products coming from Hopf algebras that are deformation of the Butcher-Connes-Kreimer and the extraction-contraction Hopf algebras. This new B-series perspective sheds a new light on the two main operations at play in singular SPDEs: recentering and renormalisation. -
Clément Chenevière
Étude énumérative des intervalles dans les treillis de type Tamari
7 novembre 2023 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Résumé : Le treillis de Tamari est un ordre partiel sur les objets Catalan. De nombreuses descriptions de ce treillis donnent lieu à de nombreuses familles de généralisations, notamment les treillis m-Tamari et m-Cambriens. Après une "visite guidée" dans ce zoo des généralisations du treillis de Tamari, je présenterai mon travail de thèse. Je parlerai en particulier de la conjecture de Stump-Thomas-Williams stipulant que le nombre d'intervalles dans le treillis m-Cambrien en type A linéaire est le même que dans le treillis m-Tamari, et de mes avancées sur ce sujet. -
Lucas Mason-Brown
Unitary representations of semisimple Lie groups and conical symplectic singularities
14 novembre 2023 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Résumé : One of the most fundamental unsolved problems in representation theory is to classify the set of irreducible unitary representations of a semisimple Lie group. In this talk, I will define a class of such representations coming from filtered quantizations of certain graded Poisson varieties. The representations I construct are expected to form the "building blocks" of all unitary representations. -
Alexander Shapiro,
Cluster realization of spherical DAHA
21 novembre 2023 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Spherical subalgebra sDAHA of Cherednik's double affine Hecke algebra of type A admits a faithful representation in which its generators act via elementary symmetric functions and Macdonald operators. In this talk I will discuss how one may view sDAHA as a reduction of certain quantum character variety, and use this description to construct an injective homomorphism from sDAHA into a quantum cluster algebra. Moreover, we will see that the action of the modular group on sDAHA is realized via cluster transformations. This in turn will allow us to relate Macdonald operators and Hamiltonians of the quantum Toda system via an explicit unitary equivalence. The talk is based on a joint work in progress with Philippe Di Francesco, Rinat Kedem, and Gus Schrader. -
Arthur Soulié
Autour des représentations homologiques des groupes de tresses et des groupes de difféotopies
28 novembre 2023 - 14:00Salle de séminaires IRMA
Résumé : Les théories des représentations des groupes de tresses sur les surfaces et les groupes de difféotopies sont sauvages, dans le sens où il n'existe pas de classification de leurs représentations irréductibles via un nombre finis de paramètres. Dans cet exposé, je décrirai des méthodes générales de constructions de représentations homologiques spécifiques à ces familles de groupes. Elles généralisent notamment les constructions célèbres de Lawrence et Bigelow pour les groupes de tresses. Je présenterai également certaines propriétés de ces représentations (fonctorialité, polynomialité, irréductibilité et noyaux). Cet exposé traite de travaux en collaboration avec Martin Palmer.