Séminaire Algèbre et topologie

organisé par l'équipe Algèbre, représentations, topologie

  • Matthieu Faitg

    Algèbres de modules quantiques

    9 janvier 2024 - 14:00Salle de séminaires IRMA

    Les algèbres de modules quantiques ont été introduites dans le cadre de la quantification des variétés de caractères des surfaces. Ce sont des module-algèbres qui sont construits à partir des groupes quantiques. Après avoir expliqué la définition, je présenterai des résultats sur leur structure : finiment engendré, noethérianité, absence de diviseurs de 0. Quelques éléments de preuve seront ébauchés, qui utilisent notamment certaines propriétés des groupes quantiques et une généralisation du théorème de Hilbert-Nagata en théorie des invariants. J'expliquerai le lien entre les algèbres de modules quantiques et la topologie de basse dimension (algèbres d'écheveaux), qui est une des motivations pour ces résultats. Travail en commun avec S. Baseilhac et P. Roche.

  • Benjamin Enriquez

    Fonctions polylogarithmes sur les surfaces de Riemann

    16 janvier 2024 - 14:00Salle de séminaires IRMA

    Résumé :

    On rappellera la construction de l'algèbre des fonctions hyperlogarithmes sur le plan complexe marqué (Poincaré, Lappo-Danilevskii) et ses propriétés (Brown). On montrera que, $C$ étant une courbe affine complexe, chaque élément de Maurer-Cartan algébrique à valeurs dans une certaine algèbre de Lie permet la construction d'une algèbre de fonctions analytiques multivaluées avec des propriétés analogues. On évoquera la construction par d'Hoker, Hidding et Schlotterer d'éléments de Maurer-Cartan non holomorphes, et on reliera les algèbres de fonctions multivaluées associées aux précédentes (travail avec F. Zerbini).

  • Gabriele Rembado

    Espaces de modules de connexions sauvages : déformations et quantifications.

    23 janvier 2024 - 14:00Salle de séminaires IRMA

    Résumé: Les espaces de modules de connexions méromorphes sur les (fibrés principaux au-dessus des) surfaces de Riemann ont une structure géométrique très riche. Dans le cas logarithmique, ils coïncident avec les variétés de caractères complexes des surfaces de Riemann à points marqués, qui s'assemblent en fibrés de Poisson/symplectiques plats lors de la déformation de la surface ; après quantification géométrique/par déformation, on obtient des fibrés vectoriel (projectivement) plats au-dessus de l'espace des déformations, dont en particulier la connexion de Knizhnik--Zamolodchikov de la théorie conforme des champs 2d. Dans cet exposé nous ferons une revue d'une partie de cette histoire, puis nous présenterons des travaux récents sur des extensions qui portent sur les déformations & quantifications d'espaces de modules de connexions méromorphes irrégulières singulières (" sauvages "). Il s'agit là de collaborations avec (P. Boalch, J. Douçot, M. Tamiozzo) & (G. Felder, R. Wentworth).

  • Alex Takeda

    Un nouveau dg-modèle pour l'espace de lacets libres et topologie des cordes

    30 janvier 2024 - 14:00Salle de séminaires IRMA

    Résumé : À partir d'une triangulation d'un espace X, il est possible de donner un modèle cellulaire pour LX, son espace de lacets libres. La description de l'application de lacets constants X -> LX, en termes de ce modèle, s'avère assez compliquée, étant sujet de recherches depuis au moins les travaux d'Adams. Dans cet exposé, je discuterai d'un nouveau modèle, à homologie près, de l'espace LX, qui rend la description de l'application X -> LX plus simple, dans les cas où pi_2(X) = 0. Ce modèle simplifié permet une description algébrique explicite du co-produit sur l'homologie de LX, en utilisant le formalisme développé avec M. Rivera et Z. Wang. Les résultats dans cet exposé sont en préparation avec M. Rivera.

  • Victor Roca I Lucio

    A new approach to formal moduli problems

    13 février 2024 - 14:00Salle de séminaires IRMA

    Résumé : The celebrated Lurie—Pridham theorem states that infinitesimal deformations are encoded by dg Lie algebras, over a characteristic zero field. “Infinitesimal deformations” are here made precise via the notion of a formal moduli problem. Since then, this theorem has been generalized in many directions. Nevertheless, these generalizations rely on variations of the initial arguments proposed by Lurie. The goal of this talk is to explain a new framework for formal moduli problems, using methods coming from operadic calculus. This allows us to fully characterize when formal moduli problems of some type of algebras are equivalent to their Koszul dual algebras, over a field of any characteristic. And it will give us a new proof of the celebrated Lurie—Pridham theorem, as well as of many of its generalizations. This is joint work with Brice Le Grignou.

  • Julien Korinman

    Représentations d'algèbres d'écheveaux

    20 février 2024 - 14:00Salle de séminaires IRMA

    Les algèbres et modules d'écheveaux ont été introduits au début des années 90 et forment les briques de bases d'objets algébriques sophistiqués appelés TQFTs qui engendrent des invariants de noeuds, de 3 variétés et des représentations des groupes modulaires de surfaces. Dans cet exposé, je présenterai une série de résultats récents concernant la classification des représentations de ces algèbres. Comme application, j'exposerai comment ces représentations peuvent être utilisées pour définir de nouveaux invariants de nœuds et, conjecturalement, de nouvelles TQFTs.

  • Pierre Baumann

    Stabilité dans les bigèbres graduées, B-modules et polytopes

    27 février 2024 - 14:00Salle de séminaires IRMA

    Je présenterai une notion de stabilité à la Harder-Narasimhan pour les bigèbres graduées et appliquerai cette mini-théorie à l'étude d'une filtration, indexée par des polytopes, de l'algèbre des fonctions régulières sur le groupe des matrices inversibles triangulaires supérieures.

  • Shintaro Kuroki

    Equivariant cohomology of even-dimensional complex quadrics from a combinatorial point of view

    5 mars 2024 - 14:00Salle de séminaires IRMA

    Résumé : A 2n-dimensional complex quadric is the manifold defined by a quadratic equation in the (2n+1)-dimensional complex projective space. It has the (n+1)-dimensional torus action which satisfies the GKM conditions. In this talk, I will introduce the equivariant cohomology ring of this space by generators and relations which are described by the subgraphs in the GKM graph. This talk is based on the preprint https://arxiv.org/abs/2305.11332.

  • Erik Lindell

    Stable cohomology of Aut(F_n) with bivariant twisted coefficients

    26 mars 2024 - 14:00Salle de séminaires IRMA

    Résumé : The cohomology of Aut(F_n), the automorphism group of a free group on n generators, has been studied by many authors. In particular, much progress has been made concerning its stable cohomology, i.e. the cohomology in degrees sufficiently low compared to n. It was proven by Galatius that the stable cohomology groups with coefficients in Q are trivial. With coefficients in tensor powers of the first rational homology of F_n, or its first rational cohomology, the stable cohomology groups were independently computed by Djament and Vespa (using functor homology methods) and by Randal-Williams (by extending the methods of Galatius). For mixed tensor powers of these coefficients ("bivariant" twisted coefficients), a conjectural description was given by Djament. Furthermore, Kawazumi and Vespa proved that the collection of stable cohomology groups with all different bivariant twisted coefficients has the structure of a so-called "wheeled PROP" and rephrased the conjecture of Djament in these terms. In this talk I will review these results and sketch my proof of this conjecture.

  • Khalef Yaddaden

    Correspondance de schémas liés aux relations de double mélange de MZV cyclotomiques

    2 avril 2024 - 14:00Salle de séminaires IRMA

    On s'intéresse à deux approches reflétant les propriétés combinatoires des relations de double mélange entre les valeurs de polylogarithmes multiples aux racines N-ièmes de l'unité (aussi appelées MZV cyclotomiques). La première, étudiée par Hoffman, Ihara-Kaneko-Zagier (N=1), et Zhao (N>=1), décrit ces relations à travers des produits d'algèbres. La deuxième, introduite par Racinet, considère les MZV cyclotomiques du point de vue de l'associateur de Drinfeld et fournit une description reposant sur des coproduits d'algèbres de Hopf. Dans cet exposé, nous allons présenter les schémas correspondant à chaque approche et établir un isomorphisme de schémas basée sur la nature duale des relations entre ces produits et coproduits. (Cet exposé est basé sur un travail conjoint en cours avec H. Bachmann.)

  • Khaydar Nurligareev

    Interprétation combinatoire des coefficients dans les développement asymptotiques

    9 avril 2024 - 14:00Salle de séminaires IRMA

    Résumé : De nombreuses structures combinatoires admettent, au sens large, une notion d’irréductibilité : les graphes peuvent être connexes, les permutations indécomposables, les polynômes irréductibles, etc. Nous nous intéressons à la probabilité qu’un tel objet pris au hasard soit irréductible, lorsque sa taille tend vers l’infini. Dans cet exposé, nous discutons de plusieurs méthodes qui nous permettent d’obtenir les asymptotiques pour cette probabilité de manière courante. Nous montrons que les coefficients apparaissant dans ces asymptotiques sont entiers et qu’ils peuvent être interprétés comme des suites de comptage d’autres classes combinatoires “ dérivées ”. De plus, nous obtenons certaines probabilités asymptotiques qu’un objet combinatoire aléatoire ait un nombre donné de composantes irréductibles. Nous appliquons notre approche aux graphes connexes, aux graphes orientés fortement connexes aux tournois irréductibles, aux surfaces à petits carreaux, aux permutations indécomposables, aux couplages parfaits indécomposables, aux cartes combinatoires et cetera. À l’aide de la théorie des espèces, nous traitons également le modèle G(n, p) de Erdös–Rényi. Cet exposé est basé sur des articles en commun avec Thierry Monteil et Sergey Dovgal.

  • Tristan Bozec

    Des structures Calabi-Yau aux théories topologiques des champs.

    28 mai 2024 - 14:00Salle de séminaires IRMA

    Le principe de Kontsevich-Rosenberg consiste à définir et comprendre des structures sur les algèbres associatives qui induisent des structures géométriques classiques sur leurs espaces de représentations. Les premières sont appelées versions "non-commutatives" des secondes. Ainsi, par exemple, les structures bisymplectiques introduites par Crawley-Boevey, Etingof et Ginzburg forment le pendant non-commutatif des structures Hamiltoniennes ; les structures double Poisson de Van den Bergh celui des variétés Poisson. Plus tard, dans le contexte des algèbres différentielles graduées, Brav et Dyckerhoff ont montré que l'analogue non-commutatif des structures symplectiques consistait en des structures dites Calabi-Yau (CY). Dans cet exposé je motiverai cette terminologie, expliquerai une version relative qui donne des structures lagrangiennes, comment on peut s'inspirer de la géométrie symplectique "traditionnelle" pour obtenir de nouveaux exemples, et enfin comment ces structures CY définissent une TFT qui factorise celle des structures lagrangiennes qui participe au formalisme AKSZ. C'est un rapport sur des travaux réalisés avec Damien Calaque et Sarah Scherotzke.

  • Arnaud Eteve

    Autour d'un théorème de Deligne-Lusztig

    4 juin 2024 - 14:00Salle de séminaires IRMA

    Soit G un groupe réductif sur un corps fini F. La théorie des représentations du groupe G(F) est souvent comprise en étudiant la cohomologie des variétés de Deligne-Lusztig. Le théorème fondamental qui motive la construction initiale de Deligne et Lusztig est que toutes les représentations irréductibles de G(F) apparaissent dans la cohomologie de ces variétés. Dans cet exposé, je presenterai une simplification de la preuve de ce théorème et je placerai cette construction au sein d'un programme dont le but est de reconstruire la théorie par l'introduction systématiques de méthodes géométriques et catégoriques.

  • Tudor Padurariu

    The commuting stack via quasi-BPS categories

    18 juin 2024 - 14:00Salle de séminaires IRMA

    For a Calabi-Yau threefold X, one expects, following Kontsevich-Soibelman, to define a Hall algebra on the moduli stacks of sheaves on X. Such algebras are a bridge between the enumerative geometry of X and quantum groups. The first example to study is C^3. In this case, the Kontsevich-Soibelman Hall algebras are the same as Hall algebras defined by Schiffmann-Vasserot and Porta-Sala. I will discuss the structure of the categorical Hall algebra of C^2. More precisely, I will discuss a semi orthogonal decomposition of this Hall algebra in quasi-BPS categories, compute these quasi-BPS categories, and relate them to a Bridgeland-King-Reid-Haiman theorem for the Hilbert scheme of points on C^3. I will also explain a (heuristic) connection between the categorical Hall algebra of C^2, the Betti Langlands program for an elliptic curve and the Fukaya category of the torus (following Schiffmann-Vasserot). This is based on joint work in progress with Sabin Cautis and Yukinobu Toda.

  • Khalef Yaddaden

    Schémas des relations de double mélange et distribution de polylogarithmes multiples aux racines de l’unité et une conjecture de Zhao

    17 septembre 2024 - 14:00Salle de séminaires IRMA

    Résumé : Dans un précédent exposé, nous avons établi un isomorphisme de schémas $\mathsf{DMR}(N) \to \mathsf{EDS}(N)$ décrivant les relations de double mélange entre valeurs polylogarithmes multiples aux racines de l’unité ($N$-MPV). Le premier schéma a été introduit par Racinet tandis que nous avons construit le second d’après les idées de Hoffmann, Ihara-Kaneko-Zagier (N=1), Arakawa-Kaneko et Zhao ($N \geq 1$). Lorsque $N > 1$, les $N$-MPV satisfont aussi des relations dites de distribution que Racinet incorpore dans un sous-schéma $\mathsf{DMRD}(N)$ de $\mathsf{DMR}(N)$. Dans cet exposé, nous introduirons un sous-schéma $\mathsf{EDSD}(N)$ de $\mathsf{EDS}(N)$ isomorphe à $\mathsf{DMRD}(N)$. En guise d’application, nous démontrons une conjecture de Zhao stipulant que les relations de distribution de poids 2 sont conséquence de relations de double mélange ainsi que de relations de distribution de poids 1 et profondeur 2. (cet exposé est basé sur un travail réalisé en collaboration avec Henrik Bachmann)

  • Emine Yıldırım

    Friezes

    1 octobre 2024 - 14:00Salle de séminaires IRMA

    There are many interesting interplays between representation theory of algebras and combinatorics. In this talk, I will give a tour of some of these interactions using friezes interpreted in different contexts. This presentation serves as an exposition of two collaborative works with K. Baur, L. Bittmann, E. Gunawan, and G. Todorov and E. Kantarcı Oğuz.