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  • Baire et Lebesgue, deux méthodes pour domestiquer les monstres mathématiques

    — Jean-pierre Kahane

    19 janvier 2001 - 16:00Salle de séminaires IRMA

    La théorie de Baire et l'intégrale de Lebesgue ont juste cent ans. Je me propose de les célébrer en montrant un aspect de leur utilisation, développé d'abord par les mathématiciens polonais de l'entre-deux guerres : les méthodes probabilistes et celles de Baire pour "domestiquer les monstres" (remplacer des constructions explicites par l'exploration de propriétés presque-sûres ou quasi-sûres). Il s'agira surtout de séries de Taylor et de séries trigonométriques, et de questions voisines.
  • Arbres plans, polynômes de Shabat, et entrelacs.

    — Norbert A' Campo

    26 janvier 2001 - 16:15Salle de séminaires IRMA

    Etant donné un arbre pointé dans le plan, on peut lui associer canoniquement son polynôme de Shabat et un entrelac slalom. Les polynômes et les entrelacs ainsi obtenus jouissent de propriétés remarquables.
  • Algèbres de Hopf appliquées (de la théorie des nombres à la Physique Mathématique)

    — Pierre Cartier

    16 mars 2001 - 16:00Salle de séminaires IRMA

    Les algèbres de Hopf ont été inventées vers 1945 par H. Hopf pour les besoins de la Topologie Algébrique. Après une belle période de développement dans les années 1950, le sujet s'était endormi. Il s'est réveillé vers 1985, grâce essentiellement à Drinfeld, et ses groupes quantiques. Je voudrais faire une revue des autres applications que les algèbres de Hopf ont trouvées récemment, grâce surtout aux efforts de Kontsevitch et de Connes.
  • Calcul automatique sur les séries, récurrences et identités.

    — Volker Strehl

    23 mars 2001 - 16:00Salle de séminaires IRMA

    Suite aux travaux de Zeilberger (à partir de 1990, environ) le problème de la démonstration automatique (par ordinateur) des identités de type hypergéométrique a gagné une popularité considérable et a declenché de nombreuses activités théoriques et pratiques. Dans cet exposé je me propose d'illustrer et de commenter les algorithmes de base, de donner quelques variations et extensions et de mentionner aussi des problèmes et des méthodes algorithmiques voisines (comme la sommation rationnelle et la méthode de Karr). Enfin, je ferai un rapide survol des logiciels disponibles.
  • Des transducteurs et des nombres

    — Sakarovitch Jacques

    18 mai 2001 - 16:30Salle de séminaires IRMA

    De quelques remarques de Pascal au théorème de Cobham que complète celui de Christol-Kamae-Mendes-Rauzy, de nombreux résultats ont montré les liens profonds qui unissent les automates finis et les nombres via leur écriture. Dans cet exposé, je voudrais à la fois présenter certains résultats plus récents -- comme la normalisation dans une base de Pisot, due à Ch. Frougny, ou la transcription entre la base de Fibonacci et celle du nombre d'or -- et en tirer prétexte pour poser les jalons principaux de la théorie des transducteurs finis.
  • Quelques problèmes mathématiques de la physique quantique

    — Janos Polonyi

    8 juin 2001 - 16:00Salle de séminaires IRMA

    Je souhaite aborder les questions suivantes : 1) Les espaces fibrés (alias théories de jauge) apparaissent comme base mathématique pour la description des interactions fondamentales en physique et de leur manifestation : les instantons. 2) Infinité et continu en physique : courbes nulle part dérivables, divergences ultraviolettes, et finitude de l'Univers. 3) Pourquoi ne comprenons-nous pas la logique quantique ?
  • Genres elliptiques généralisés

    — Valery Gritsenko

    19 octobre 2001 - 16:00Salle de séminaires IRMA

    Les invariants classiques des variétés tels que signature, nombre d'Euler, A-genre possèdent des propriétés arithmétiques intéressantes. Par exemple, la signature d'une variété spinorielle de dimension congrue à 4 modulo 8 est divisible par 16 (théorème de Rokhlin--Ochanine). Une explication simple de ce fait est donnée par la théorie du genre elliptique : la signature est le premier coefficient de Fourier d'une forme modulaire. Une généralisation de cette construction est due aux physiciens dans la théorie des cordes quantiques. La fonction partition d'un modèle sigma ou le genre elliptique d'une variété de Calabi--Yau est une fonction modulaire à deux variables.
    Le but de l'exposé est de montrer que les invariants géométriques mentionnés ci-dessus sont de nature modulaire. Par exemple le genre elliptique d'une variété de Calabi--Yau M (la première classe de Chern est triviale !) de dimension complexe d est une forme modulaire de Jacobi. Le premier coefficient de Fourier de cette forme est le chi_y-genre de Hirzebruch de M, i.e. le polynôme $$sum_{p=0}^{d}chi^{(p)}(M)y^{d/2-p}$$ où chi^{(p)}(M) est la somme alternée sum_{q=0}^d (-1)^q h^{p,q}(M). Nous introduisons le genre elliptique généralisé pour une fibration vectorielle E dont la première classe de Chern est arbitraire sur une variété complexe M. En particulier, cette construction donne le genre de Witten (dans le cas où E est trivial de rang 0), le genre elliptique d'une variété de Calabi--Yau (dans le cas où E=T_M et c_1(T_M)=0) et la fonction partition du modèle sigma non-linéaire (0,2)-symétrique (dans le cas où c_1(E)=0 et p_1(E)=p_1(T_M)).
    Pour comprendre la construction il suffit d'avoir une notion générale du théorème de Riemann-Roch. Toutes les définitions de la théorie des formes automorphes seront données dans l'exposé.
  • Des irrationnels quadratiques en Chine et en Inde anciennes

    — Karine Chemla

    7 décembre 2001 - 16:00Salle de séminaires IRMA

    Les textes les plus anciens chinois et indiens à avoir été transmis par la tradition écrite introduisent des irrationels quadratiques et les soumettent à des calculs. Après avoir présenté ces textes, j'examinerai le problème de transmission qu'ils soulèvent et esquisserai un programme de recherche qui pourrait à terme renouveler notre compréhension de l'histoire de l'irrationalité.