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Colloquium Mathématique

  • Tom Leinster

    The many faces of magnitude

    26 janvier 2024 - 16:00Salle de conférences IRMA

    The magnitude of a square matrix is the sum of all the entries of its inverse. This strange definition, suitably used, enables us to define the "magnitude" of many objects in different contexts across mathematics. All of them can be seen as measures of size. For example, the magnitude of a metric space combines classical quantities such volume, surface area, and dimension. The magnitude of a category is closely related to Euler characteristic. The magnitude of a graph is an invariant sharing features with the Tutte polynomial (but not a specialization of it). Magnitude also appears in the difficult problem of quantifying biological diversity: under certain circumstances, the greatest possible diversity of an ecosystem is exactly its magnitude. And there is now a theory of magnitude homology, which has the same relationship to magnitude as ordinary homology does to Euler characteristic. I will give an aerial view of this landscape.

  • Sébastien Martineau

    Percolation, une petite visite guidée

    22 mars 2024 - 16:00Salle de conférences IRMA

    Prenons un graphe, par exemple le réseau carré ou un arbre binaire infini. On se donne un nombre réel p dans [0,1], puis on tire un sous-graphe aléatoire de notre graphe de départ : de façon indépendante, chaque arête est conservée avec probabilité p et effacée sinon. A quoi ressemblent les composantes connexes de ce sous-graphe aléatoire ?

    De façon intéressante, un phénomène de « transition de phase » émerge, une espèce de discontinuité peut-être inattendue : il existe un paramètre critique pc, dépendant de façon déterministe du graphe de départ, tel que
    - pour tout p < pc, avec probabilité 1, il n'existe aucune composante connexe infinie,
    - pour tout p > pc, avec probabilité 1, il existe au moins une composante connexe infinie.

    Cet exposé proposera une introduction à la percolation, tant aux objets d'étude qu'aux contexte, questions et résultats. On soulignera les liens entre cette théorie et les mathématiques des non-probabilistes.

  • Eva Maria Feichtner

    A Leray model for Orlik-Solomon algebras

    26 avril 2024 - 16:00Salle de conférences IRMA

    Although hyperplane arrangement complements are rationally formal, we note that they have rational models which are topologically and combinatorially significant. We construct a combinatorial version of the classical Leray model for arrangement complements that interpolates between the Orlik-Solomon algebra and the Chow ring of a matroid. This gives us the opportunity to present and reconcile much of the Orlik-Solomon and nested set combinatorics that have proven to be rather powerful structural tools in the subject area.