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Michel Mendes-france
La répartition des diviseurs d'un entier générique, point de vue thermodynamique
17 janvier 2003 - 16:00Salle de séminaires IRMA
On sait qu'un système physique est entièrement décrit par sa fonction de partition Z(T) = somme exp(-E_n /T) où T>0 est la température absolue et où E_1,E_2,...,E_n,... représentent les états énergétiques possibles. On s'intéressera à un système très simple constitué par deux particules newtoniennes répulsives astreintes à occuper deux positions adjacentes parmi les sites donnés x_1,x_2,...x_k sur le segment (0,1). La limite thermodynamique où k croît indéfiniment est particulièrement intéressante à étudier. Dans certains cas, la limite de logZ(T)/logk (l'énergie libre) est une fonction discontinue de la température T. Les points de discontinuités appelés points critiques correspondent à des transitions de phases (solide/liquide ou liquide/gaz). Une telle température critique est étroitement liée à la dimension fractale de l'ensemble des points où se trouvent les sites. En appliquant ces idées au cas où les sites sont situés aux points logd/logn où d parcourt les diviseurs de l'entier n, n tendant vers l'infini selon une suite de densité 1, on montre que l'ensemble des diviseurs d'un "grand entier générique" n a une structure fractale dont la dimension est log2. Cet exposé rend compte d'un travail fait conjointement avec G.Tenenbaum: 1.Systèmes de points, diviseurs, et structure fractale. Bull. SMF 121, 1993, 197-225. 2.A one-dimensional model with phase transition. Communications Math. Phys. 154, 1993, 603-611. 3.Phase transitions and divisors. in Probability Theory and Mathematical Statistics, Proc.Sixth Vilnius Conf. [1993], edited by Grigelionis, Kubilius, Pragarauskas, Statalevicius, VSP BV, 1994, 541-552. -
Ilia Itenberg
Constructions combinatoires de variétés algébriques réelles et géométrie énumérative
14 février 2003 - 16:00Salle de séminaires IRMA
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Boris Khesin
Holomorphic linking numbers
7 mars 2003 - 16:00Salle de séminaires IRMA
We discuss polar homology groups for complex manifolds, which are holomorphic analogues of the homology groups in topology. Polar chains in a complex projective manifold are complex subvarieties with meromorphic forms on them, while the boundary operator is defined by taking the divisor of poles and the Poincare residue on the divisor. Similarly, one can define, e.g., holomorphic analogs of the Gauss linking number or of the symplectic structure on moduli spaces of flat connectionson a Riemann surface. We also consider gauge-theoretic applications of this correspondence. -
Paul Goerss
Algebraic Topology, Formal Groups and Elliptic Curves
14 mars 2003 - 16:00Salle de séminaires IRMA
Abstract: A fundamental problem in algebraic topology is to compute the stable homotopy groups of spheres, but case-by-case calculations have yielded no good answers. What we can compute with are various generalized cohomology theories. This leads naturally to theories of Chern classes for complex vector bundles and, hence, to formal group laws. The point of the talk would be to explain a) how to use the algebraic geometry of formal group laws to organize and present stable homotopy theory and b) how this point of view has led to new and poweful calculations. This all has deep historical roots, going back to Cartier and Morava, and the modern advances have been led by Hopkins, who saw how to feed in the geometry of elliptic curves. -
Vassilis Nestoridis
Séries de Taylor universelles
25 avril 2003 - 16:00Salle de séminaires IRMA
Résumé: Les sommes partielles du développement de Taylor d'une fonction holomorphe peuvent approcher n'importe quel polyn^ome, sur tout compact à complément connexe situé en dehors du disque de convergence. Ceci est une propriété générique des fonctions holomorphes. Ces fonctions holomorphes génériques s'appellent "séries de Taylor universelles". De plus, l'approximation est valable au niveau de toutes les dérivées et sur une partie ou sur toute la frontière du disque. Sur l'autre partie de la frontière, on peut trouver des fonctions universelles qui sont lisses ainsi que toutes leurs dérivées. On présentera les bases de cette théorie ainsi que quelques développements récents. -
Jacques Alev
Equivalence birationnelle non commutative
16 mai 2003 - 16:00Salle de séminaires IRMA
Les algèbres enveloppantes U(g), où g est une algèbre de Lie, sont les exemples les plus simples de déformations non-commutatives d'algèbres de polynômes. Une des premières questions que l'on s'est posées concerne la structure de leur corps des fractions K(g) : en caractéristique zéro, l'Hypothèse Fondamentale de Gelfand-Kirillov stipule une structure très simple pour K(g), à savoir un isomorphisme avec le corps des fractions de l'algèbre de Weyl, algèbre des opérateurs différentiels à coefficients polynômiaux. Nous présenterons la panoplie de résultats classiques et quantiques et des exemples qui montrent comment il faut nuancer la conjecture initiale. Nous poursuivrons avec des développements plus récents concernant le cas où g est de dimension infinie et le cas de la caractéristique positive. -
Robert Moussu
Quelques propriétés des courbes intégrales, un siècle après
5 décembre 2003 - 16:00Salle de séminaires IRMA
Soit E une équation différentielle analytique sur un voisinage de 0 dans R^n et soit gamma une courbe intégrale de E telle que gamma(t) tend vers 0 quand t tend vers plus l'infini. On s'intéresse à la question suivante :
Comment d'un point de vue analytique gamma tend-elle vers le point 0 ?
Si n = 2 , on sait, depuis la fin du dix-neuvième siècle avec Poincaré, Liapounov, Dulac, ..., que l'on a l'alternative : gamma spirale autour de 0 - gamma possède une tangente en 0 . Si n > 2 , pour décrire le comportement analytique de gamma au voisinage de 0 , il faut préciser les propriétés "posséder une tangente", "spiraler" avec les concepts respectifs de tangentes itérées, courbe oscillante, et surtout comprendre comment ils sont reliés. En particulier, si n = 3 , il apparait des phénomènes nouveaux : le spiralement axial, l'enlacement asymptotique. Cette étude repose sur des résultats classiques de géométrie analytique réelle et de singularités de champs de vecteurs. -
Philippe Bougerol
Mouvement brownien, chemins de Littelmann et théorie des représentations. (Travaux en collaboration avec Ph. Biane et N. O'Connell.)
12 décembre 2003 - 16:00Salle de séminaires IRMA
Il existe des relations profondes entre le mouvement brownien et les chemins de Littelmann intervenant dans la théorie des représentations des groupes. Ces relations permettent de mettre en évidence de nouvelles propriétés.
L'apport aux probabilités est une représentation explicite des valeurs propres d'une matrice aléatoire. Du c^oté des représentations de groupe, la propriété d'invariance d'échelle du mouvement brownien conduit à une interprétation tropicale (i.e. dans l'algèbre max-plus) des transformations de Littelmann, mettant en évidence la propriété de symétrie du produit tensoriel au niveau de la combinatoire des chemins.