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  • Conjecture AGT et espaces de modules d'instantons

    — Olivier Schiffmann

    18 janvier 2013 - 16:00Salle de conférences IRMA

    Les espaces de modules de fibrés vectoriels de rang r sur P^2 (ainsi que certaines de leurs
    compactifications partielles) jouent un rôle important en physique théorique -- ce sont les
    espaces de modules de U(r)-instantons sur R^4. Récemment, Alday, Gaiotto et Tachikawa
    ont conjecturé que le 'volume' de ces espaces de modules s'exprimait en termes de la théorie
    des représentations de certaines algèbres de dimension infinie -- les algèbres W.
    Par exemple, le volume de l'espace de modules des instantons de rang 2 s'exprime en termes de la théorie des représentations de l'algèbre de Virasoro.
    Nous expliquerons cette conjecture en détail et donnerons les idées de sa démonstration (travail en commun avec Eric Vasserot). Une autre démonstration en a été donnée par Maulik et Okounkov.
  • Prix Nobel de chimie 2011

    — Charles Boubel

    30 janvier 2013 - 12:30Salle de conférences IRMA

    Séminaire L : Quasi-cristaux, une rencontre imprévue de chimie et de mathématiques. Le prix Nobel de chimie 2011 a récompensé une découverte étonnante des années 1980 mélangeant de la chimie et des maths, plus exactement de la logique et de la géométrie des années 1960 et 1970. C’est assez rare de voir ces deux disciplines ainsi profondément liées. Il s’agit de la découverte d’une forme jusqu’ici inconnue d’arrangements des atomes entre eux pour former de la matière solide, qu’on a baptisés les quasi-cristaux. Ils sont l’analogue physique des « pavages quasi périodiques » de Penrose. C’est une belle histoire, pour les yeux comme pour l’esprit. Je conclurai en montrant, à travers des mosaïques médiévales, que les Turcs, Persans et Afghans avaient déjà beaucoup compris.
  • Le laplacien hypoelliptique

    — Jean-Michel Bismut

    15 février 2013 - 16:00Salle de conférences IRMA

    Si X est une variété riemannienne, le laplacien est un opérateur elliptique d'ordre 2 sur X. Le laplacien hypoelliptique (L_b , b>0) est une famille d'opérateurs agissant sur l'espace total du fibré tangent TX, qui est censé interpoler entre le laplacien elliptique (quand b tend vers 0) et le flot géodésique (quand b tend vers l'infini). A des termes d'ordre inférieur près, le laplacien hypoelliptique est la somme pondérée de l'oscillateur harmonique dans la fibre et du générateur du flot géodésique. On s'attend à ce que dans la déformation, il y ait des quantités conservées.
    Je décrirai les aspects algébriques, analytiques et probabilistes qui sous-tendent la construction du laplacien hypoelliptique, et j'en donnerai certaines applications.
  • Marches aléatoires sur les groupes hyperboliques.

    — Sébastien Gouëzel

    22 mars 2013 - 16:00Salle de conférences IRMA

    Parmi les manières de comprendre les groupes (dénombrables, de type fini), une méthode instructive est de lancer une marche au hasard sur le groupe : les propriétés asymptotiques de la marche en disent beaucoup sur la géométrie du groupe, et sur sa structure algébrique. Par exemple, la manière qu'a la marche de tendre vers l'infini est significative, et permet de construire des compactifications naturelles du groupe. Je m’intéresserai principalement à un événement exceptionnel, la probabilité de retour à l’origine au temps n. Dans de larges classes de groupes, elle est exponentiellement petite, mais on peut parfois être plus précis : il apparaît une correction polynomiale conjecturalement liée à certaines caractéristiques géométriques du groupe. Je décrirai précisément ce qui se passe lorsque le groupe est le groupe fondamental d’une surface, ou plus généralement un groupe hyperbolique.
  • Nous exposerons des résultats (dûs essentiellement à C. Foias et l'auteur)
    sur un développement asymptotique conduisant à une forme normale pour les
    équations de Navier-Stokes avec forces potentielles. Nous ferons ensuite le lien avec la théorie des formes normales de Poincaré et Dulac.
  • (Weakly) maximal representations and Causal structures

    — Anna Wienhard

    7 juin 2013 - 16:00Salle de conférences IRMA

    The Toledo number is a bounded continuous function on the space of representations of a fundamental group of a surface into a Lie group of Hermitian type (e.g. Sp(2n,R)). Representations realizing the maximal possible value of the Toledo number are called maximal representations. In the case of SL(2,R), maximal representations are precisely holonomy representations of hyperbolic structures. Weakly maximal representations considerably extend the scope of maximal representations while retaining some of the important structures (e.g. discreteness and faithfulness). They admit a nice characterization in terms of bi-invariant orderings. In special cases this ordering can be described in terms of causal structures.
  • Les assistants de preuve, ou comment avoir confiance en ses démonstrations

    — Julien Narboux

    20 septembre 2013 - 16:00Salle de conférences IRMA

    Les assistants de preuve comme Coq sont des logiciels qui permettent de rédiger et vérifier la validité d'une démonstration mathématique. Ils peuvent être utilisés pour démontrer des théorèmes mathématiques au sens usuel ou bien des propriétés des programmes. Je présenterai quelques exemples célèbres (en informatique et en mathématiques) justifiant la nécessité d'avoir des assistants de preuve, ainsi que quelques exemples de succès. Enfin, j'expliquerai pourquoi on peut voir un programme comme une preuve et vice-versa (correspondance de Curry-Howard).
  • Concentration du risque empirique en grande dimension

    — Pascal Massart

    11 octobre 2013 - 16:00Salle de conférences IRMA

    Dans le cadre de la théorie asymptotique classique, pour un n-échantillon d’une loi appartenant à un modèle paramétrique régulier à D paramètres, le théorème de Wilks assure que la différence entre la log-vraisemblance calculée en son maximum et la log-vraisemblance calculée en la vraie valeur du paramètre converge en loi vers une loi du khi-deux à D degrés de liberté. Ce résultat constitue une pierre angulaire pour la construction de critères de choix de modèles asymptotiques. Nous montrons qu’il est possible d’établir un analogue non asymptotique de ce résultat à partir de nouvelles inégalités de concentration pour le processus empirique qui vont au delà de l’inégalité de Talagrand (1996).
  • Triangles sur les courbes de Jordan de classe C^1

    — Jean-Claude Hausmann

    15 novembre 2013 - 16:00Salle de conférences IRMA

    On démontre qu'une courbe plane fermée simple de classe C^1 contient les sommets de n'importe quel triangle (non-plat), à translation et homothétie près. Ce résultat est faux pour les courbes C^0. La preuve utilise des espaces de configurations ainsi qu'un peu de topologie différentielle et algébrique.
  • Poincaré et ses inégalités

    — Michel Ledoux

    29 novembre 2013 - 16:00Salle de conférences IRMA

    La célébration du centenaire de la disparition d'Henri Poincaré en 2012 a été l'occasion de mettre en lumière les inégalités dites de Poincaré, ou de Poincaré-Wirtinger. Introduites par Henri Poincaré en 1890 dans l'étude du spectre du laplacien sur un domaine de l'espace euclidien, ces inégalités permettent de contrôler la variance d'une fonction régulière par son énergie (comme la norme L^2 de son gradient). Elles sont devenues aujourd'hui un outil puissant et universel dans l'étude de bornes spectrales et de la convergence à l'équilibre de modèles géométriques et probabilistes (variétés, opérateurs de diffusion, graphes, chaînes de Markov etc). L'exposé présentera quelques illustrations modernes des inégalités de Poincaré en analyse et probabilités, avec un intérêt particulier pour les bornes géométriques de courbure.
  • Diffusions conservant la topologie

    — Yann Brenier

    13 décembre 2013 - 16:00Salle de conférences IRMA

    Les processus de diffusion les plus simples, correspondant par exemple à l'équation de la chaleur usuelle, ont un fort effet de lissage et sont en général incompatibles avec la conservation de la topologie des objets diffusés (par exemple,
    lignes de niveau de fonctions scalaires ou lignes de champs de vecteurs).
    On verra comment définir des équations de diffusion compatibles, au moins formellement, avec la topologie. Elles sont malheureusement très non-linéaires et fortement dégénérées, avec des états d'équilibre très complexes. On introduira une notion de "solution dissipative", assez grossière mais très simple, pour ce types d'équations différentielles.