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  • Actions de groupes, équivalence orbitale et nombres de Betti l^2.

    — Damien Gaboriau

    19 mars 2004 - 16:00Salle de séminaires IRMA

    Lorsqu'un groupe agit sur un espace, il définit une relation d'équivalence ``être dans la même orbite''. Oublions l'action et le groupe pour ne retenir que la relation d'équivalence, et demandons-nous : De quoi se souvient-elle ? Peut-on retrouver le groupe qui l'a produite ? Mieux encore, peut-on retrouver l'action ?
    Dans le cas où une mesure finie est préservée, nous rappellerons quelques résultats classiques frappants et nous présenterons quelques nouveaux invariants. Ce sera l'occasion d'inviter le non spécialiste à un petit parcours dans la zoologie des groupes discrets et à une présentation des nombres de Betti l^2, qui sont des dimensions généralisées au sens de von Neumann de certains espaces de Hilbert.
  • Les algorithmes euclidiens sont gaussiens (avec Brigitte Vallée).

    — Viviane Baladi

    26 mars 2004 - 16:00Salle de séminaires IRMA

    L'algorithme de division euclidienne fournit non seulement le pgcd de deux entiers $u$ et $v$, mais aussi la fraction continue du rationnel $u/v$. Nous nous intéresserons au co^ut (nombre de pas) d'exécution de cet algorithme.par Si l'on prend à la fois toutes les fractions de dénominateur borné par un grand entier, il est connu (Hensley, 1994) que les co^uts sont répartis de fac con approximativement gaussienne.par Très récemment, avec Brigitte Vallée, nous avons obtenu une démonstration plus simple d'un résultat à la fois plus général et plus fort, donnant une vitesse de convergence optimale. Nous utilisons des outils empruntés à la mécanique statistique via les systèmes dynamiques : les opérateurs de transfert. Pour étudier leur spectre, nous adaptons des méthodes d'intégrales oscillantes introduites par Dolgopyat dans le cas des flots hyperboliques. Mais les auditeurs ne seront pas censés ^etre familiarisés avec ces techniques, ni d'ailleurs avec le problème.
  • Les équations aux q-différences hier, aujourd'hui et demain ; ou : approche fonctionnelle du calcul quantique

    — Jean-pierre Ramis

    2 avril 2004 - 16:00Salle de séminaires IRMA

    Nous présenterons d'abord quelques jolies formules (dues à Euler, Cauchy, Heine, Jacobi, Ramanujan...) contenant la lettre $q$.
    Leurs démonstrations se prêtent à des approches fort variées. Celles que nous décrirons sont basées sur un principe unificateur fort élémentaire:
    --- Identification d'une ``équation holonome" (ici aux $q$-différences) ;
    --- Identification d'une solution par ``condition initiale".

    Après quelques définitions, replaçant les équations aux $q$-différences dans un cadre plus large d'équations fonctionnelles analytiques ou algébriques, nous ferons un bref historique d'un sujet beaucoup travaillé depuis le XVIIIe siècle, puis quasi oublié, qui réémerge énergiquement aujourd'hui dans divers domaines mathématiques ou physiques.
    Nous décrirons ensuite quelques résultats récents sur le sujet. Nous insisterons en particulier sur la théorie, aujourd'hui essentiellement complète, des invariants (dans la ligne de G.D. Birkhoff). Il s'agit des fondements même de la théorie des équations différentielles linéaires analytiques aux $q$-différences ; bien que finalement assez simples, ils ont attendu quelques siècles...
    Nous finirons par quelques indications sur les riches aspects galoisiens de la théorie et sur les relations aussi fascinantes que brumeuses avec les théories parallèles (EDO linéaires ou non, équations aux différences finies, corps de fonctions en caractéristique positive...).
  • The `cycle plus triangles' theorem and some applications.

    — Herbert Fleischner

    16 avril 2004 - 16:00Salle de séminaires IRMA

    Consider n triangles whose vertices are the vertices of a regular 3n-gon H and whose sides are diagonals of H. Paul Erdös had conjectured that three colours suffice to colour the 3n vertices in such a way that two vertices have different colours if they are linked by a side of H or of one of the triangles. This conjecture was proved by Stiebitz and the seminar speaker in 1991.

    Instead of inscribing triangles in H one also may inscribe cycles with more than three edges in a non-selfcrossing way. In this case, 3-colourability becomes an NP-complete problem (that is, one can check in polynomial time whether a given 3-colouring of the vertices is proper, but there is no polynomial time algorithm in sight which would construct a proper 3-colouring). Even determining whether there exists a set of independent (= pairwise non-adjacent) vertices of a certain size is an NP-complete problem.

    However, a result which was key to solving Erdös' conjecture gives also rise to proving a special case of a theorem of Seymour, and sheds light on potential proofs of two of the most outstanding unsolved conjectures in graph theory.
  • Une propriété mathématique des réseaux de gènes.

    — Christophe Soule

    8 octobre 2004 - 16:00Salle de séminaires IRMA

    Les biologistes ont l'habitude de décrire les régulations entre gènes par un graphe orienté dont chaque arête est munie d'un signe. René Thomas a remarqué qu'un tel réseau ne peut conduire à plusieurs états stationnaires, c'est-à-dire à une différenciation biologique, que si ce graphe contient un circuit fermé dont le signe est positif.
    On verra comment cette propriété peut se comprendre d'un point de vue mathématique.