event
  • Treillis distributifs de congruences d'algèbres générales

    — Friedrich Wehrung

    13 février 2009 - 16:00Salle de conférences IRMA

    Une loi sur un ensemble A est une application de An vers A, pour un certain entier naturel n (on parle de constante lorsque n=0). Une algèbre est un ensemble non vide A muni d'un ensemble de lois sur A. Une congruence d'une algèbre A est une relation d'équivalence compatible avec les lois de A. L'ensemble Con(A) des congruences d'une algèbre donnée, muni de l'inclusion, forme un treillis, c'est-à-dire un ensemble ordonné dans lequel toute paire admet une borne supérieure et une borne inférieure. Ce treillis est de plus algébrique. L'exposé tournera autour du problème de la caractérisation des treillis de congruences.

    Par exemple, les congruences d'un groupe correspondent aux sous-groupes distingués, les congruences d'un anneau correspondent aux idéaux, les congruences d'un module correspondent aux sous-modules : ces treillis sont modulaires. Ce phénomène n'est pas général car les congruences d'un treillis L ne correspondent pas en général à des sous-ensembles de L. Toutefois, le treillis des congruences d'un treillis est distributif (Funayama et Nakayama 1942).

    Plusieurs questions dont le thème général était « quels treillis distributifs sont des treillis de congruences d'algèbres générales (groupes, modules, treillis...) » étaient ouvertes jusqu'à récemment. Il se trouve que tout treillis algébrique distributif qui a au plus ℵ1 éléments « compacts » (traduction en théorie des treillis de « finiment engendré ») est isomorphe au treillis des sous-groupes distingués d'un groupe, au treillis des sous-modules d'un module, et au treillis des congruences d'un treillis. Aucun de ces résultats ne s'étend au cas de ℵ2 éléments compacts. Le problème de savoir si tout treillis algébrique distributif est isomorphe au treillis des congruences d'un treillis, posé par R.P. Dilworth dans les années 40, n'a été résolu, par la négative, que récemment.

  • The physics of quantum symmetries and their breaking

    — Sander Bais

    13 mars 2009 - 16:00Salle de conférences IRMA

    This talk concerns a new and interesting interface between topology and the physics of quantum computation. Many two-dimensional physical (quantum) systems have hidden symmetries that are mathematically described by Hopf algebras and quantum (double) groups. These systems include discrete gauge theories, quantum Hall systems, (2+1)-dimensional gravity, and various types of (liquid) crystals. The physical importance of the extended symmetry concept is that it treats ordinary and topological quantum numbers on equal footing and that it naturally incorporates the topological interactions in the system through its braiding properties. These topological interactions facilitate an intrinsically fault tolerant way to implement quantum computation.

    After a general introduction illustrating the basic structure in some simple physical examples, I turn to the idea of spontaneously breaking quantum symmetries by the formation of Bose-condensates. In physics the method provides an effective tool for analyzing topological phases exhibiting distinct confinement and liberation phenomena.

    Mathematically this problem is related to the classification of modular invariant partition functions for rational conformal field theories. The breaking mechanism involves three levels of symmetry, besides the unbroken and broken quantum group; there is an intermediate symmetry algebra, which accounts in detail for the degrees of freedom that live on topological edges and interfaces.

  • Minimal curves in moduli schemes

    — Eckart Viehweg

    27 mars 2009 - 16:00Salle de conférences IRMA

    The Hurwitz formula implies that a meromorphic function f: XP1 from a Riemann surface X of genus g(X)>0 will ramify over three or more points. For a map from a projective n-fold X to P1 this has been generalized, replacing "ramification" by "singular fibres" and "g(X)>0" by the condition, that X has many n-forms.

    The same type of result holds true if one replaces the condition on the existence of n-forms by the one that the smooth fibres F of the morphism f are minimal models. The map XP1 then corresponds to a map from P1 to some moduli space M and hence one could state that its image is a minimal curve in M.

    Consider more generally a quasiprojective curve Y0 and morphisms Y0M, which are inducedby a family f0: X0Y0 of smooth minimal models F. Then our first aim is to find a definition of "minimality", more conceptional than the one obtained by counting points in Y-Y0 for a compactification Y of Y0.

    For families of curves or abelian varieties, or more generally if the period map for F is finite, there are candidates for such a definition coming from differential geometry (geodesics for the Hodge or Bergman metric), from topology (Milnor-Wood (in)equalities), and from the analytic geometry (Arakelov (in)equalities). In fact all those conditions turn out to be equivalent, and they can be used to characterize Shimura curves Y0.

    Surprisingly, for families of abelian varieties or curves, the most algebraic way to define "minimality" is by geodesity for the Kobayashi metric. Again there are numerical conditions, equivalent to this definition.

    This talk is based on joint work with Martin Moeller and/or Kang Zuo.

  • Survol de la théorie des entiers friables et de quelques applications.

    — Gérald Tenenbaum

    29 mai 2009 - 16:00Salle de séminaires IRMA

    La théorie des entiers friables, ou sans grand facteur premier, prend une importance sans cesse croissante dans la théorie des nombres moderne, tant en raison de ses applications (cryptologie, méthode du cercle, modèle de Kubilius, etc) que de ses implications sur les grandes conjectures, comme celle de Riemann.

    Nous proposerons un survol qualitatif, aussi peu technique que possible, de cette théorie et de ses développements les plus récents.

  • Old and new on the exceptional Lie group G_2

    — Ilka Agricola

    19 juin 2009 - 16:00Salle de conférences IRMA

    "Moreover, we hereby obtain a direct definition of our 14-dimensional simple group which is as elegant as one can wish for." With these words, Friedrich Engel summarized his research on the exceptional Lie group G_2 at a talk on June 11, 1900 at the Royal Saxonian Academy of Science. Indeed, the description initiated by Friedrich Engel and accomplished by his doctoral student Walter Reichel in 1907 is one of remarkable scientific insight. It is at the foundation of many surprising results & developments in modern differential geometry and leads directly to the exceptional role that G_2 is playing in current superstring models. In my talk, I will retrace the discovery of the exceptional group G_2, the history of the completely forgotten mathematician Walter Reichel, and give an introduction to modern developments.
  • Quelques concepts de positivité en systèmes dynamiques

    — Etienne Ghys

    2 octobre 2009 - 16:00Salle de conférences IRMA

    ATTENTION.--- Thé à 16h00.--- Exposé à 16h30, AU PETIT AMPHI! Résumé: Un champ de vecteurs dans l'espace ordinaire de dimension 3 peut être étudié d'un point de vue qualitatif/topologique. Les orbites périodiques par exemple peuvent être des nœuds compliqués qui s'entrelacent de manière complexe. Les orbites non périodiques peuvent s'accumuler sur des "attracteurs étranges" dont on aimerait bien également étudier la topologie et les entrelacements...
    Dans cet exposé, je voudrais montrer quelques exemples significatifs. Surtout, je voudrais dégager une classe de champs de vecteurs — que j'appelle "positifs" —pour lesquels on comprend bien la situation.
    Un petit mélange de théorie élémentaire des nœuds et de théorie des systèmes
    dynamiques.
  • Sur la résolution des équations de Navier-Stokes

    — Isabelle Gallagher

    16 octobre 2009 - 16:00Salle de conférences IRMA

    Résumé: Les équations de Navier-Stokes sont un modèle mathématique de description de la dynamique des fluides incompressibles. Il s'agit d'un système d'équations aux dérivées partielles d'évolution non linéaires qui, malgré sa simplicité apparente, n'est "résolu" (au sens d'un problème de Cauchy bien posé) qu'en deux dimensions d'espace. En dimension trois on sait construire des solutions régulières, globales en temps, pour des données initiales proches de l'équilibre ; pour des données générales on dispose de solutions faibles, peu régulières et a priori non uniques. Dans cet exposé nous tenterons d'expliquer les difficultés liées à la résolution de ces équations, ainsi que les principaux résultats obtenus depuis les travaux pionniers de Jean Leray en 1933.
  • Marches aléatoires et mécanique statistique

    — Vincent Beffara

    20 novembre 2009 - 16:00Salle de conférences IRMA

    Résumé:

    Depuis plusieurs décennies, les physiciens explorent les liens qui existent entre certains modèles de mécanique statistique en dimension 2 (percolation, modèles d'Ising et de Potts, marches auto-évitantes...) et les théories de champs conformes ; et en particulier, ils conjecturent l'apparition d'une invariance par transformation conforme de la limite d'échelle de ces modèles, pris à leur point critique.

    La compréhension de ces liens par les mathématiciens à été révolutionnée depuis une dizaine d'années, en particulier grâce à l'introduction du "processus SLE". Il n'est pas nécessaire pour autant de maîtriser le SLE pour comprendre une grande partie de ces progrès récents, et quelques unes des preuves peuvent se récrire en termes d'objets plus « classiques » (marche aléatoire, analyse harmonique discrète).

    Le but de l'exposé sera de présenter des preuves « élémentaires » (au sens de « sans analyse complexe ») ce certains de ces résultats.
  • Les courbes de Platon à Descartes

    — Roshdi Rashed

    4 décembre 2009 - 16:00Salle de conférences IRMA

    Résumé: À partir de Platon, tout au moins, jusqu'à Descartes et Fermat, on rencontre plusieurs conceptions des courbes. On rencontre également plusieurs tentatives de classification des courbes. L'exposé portera sur l'histoire de la notion de courbe ainsi que sur les classifications des courbes, qui ne procèdent pas encore à l'aide du plan complexe ni au moyen du calcul différentiel. On montre comment la géométrie des coniques, puis l'algèbre et enfin les premières notions analytiques, ont transformé l'étude des courbes et ont déterminé les premières classifications. On montre aussi comment la notion de classification, de nature philosophique qu'elle était, a fini par devenir une question purement mathématique.