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  • Un critère spectral de planarité des graphes

    — Yves Colin De Verdiere

    18 janvier 2002 - 16:00Salle de séminaires IRMA

    S.Y. Cheng a prouvé vers 1975 que la multiplicité de la première valeur propre non nulle du laplacien pour une métrique riemannienne arbitraire sur la sphère de dimension 2 est inférieure ou égale à 3. J'ai montré dans les années 85-90 que la considération d'opérateurs de "type Schrödinger" sur des graphes finis apporte un éclairage nouveau sur cette question ; par exemple, il n'y a pas de majoration généralisant celle de Cheng sur la sphère de dimension 3. Poussant plus loin ce lien entre spectres de graphes et spectres de variétés riemanniennes, j'ai construit un invariant "spectral" des graphes, noté "mu", qui est capable de lire la planarité du graphe, et constitue ainsi une sorte de réciproque du résultat de Cheng. En présence de champs magnétiques, la première valeur propre peut être dégénérée. J'ai remarqué que l'analogue magnétique "nu" de l'invariant "mu" est lié à la "largeur d'arbre" du graphe.
    Les méthodes utilisées sont assez élémentaires.
    Je présenterai tout ou partie de ce qui précède.
  • Automates et transcendances

    — Jean-paul Allouche

    25 janvier 2002 - 16:00Salle de séminaires IRMA

    Quels rapports peut-il y avoir entre les propriétés arithmétiques (rationalité, algébricité ...) d'un nombre (ou d'une série formelle) et son développement dans une base donnée ou son développement en fraction continue ?
    Par exemple on sait bien qu'un nombre est rationnel si et seulement si son développement dans une base entière est ultimement périodique, et qu'il est irrationnel quadratique si et seulement si son développement en fraction continue est ultimement périodique. (Le lecteur s'interrogera sur des propriétés analogues pour les séries formelles sur un corps fini ou infini.)
    Nous proposons ici un survol des propriétés arithmétiques de nombres ou séries formelles dont les développements sont donnés par certaines suites ayant des propriétés combinatoires : en particulier les suites sturmiennes (codages de trajectoires de billard carré) et les suites engendrées par automates finis [travaux récents de Davison, Ferenczi, Mauduit, Queffélec, Zamboni et l'auteur].
  • Exponentiation efficace en logiciel et en matériel

    — Joachim Von Zur Gathen

    8 mars 2002 - 16:00Salle de séminaires IRMA

    Résumé : : Le calcul efficace de grandes puissances est une tâche fondamentale en cryptographie. On présente des algorithmes rapides. L'un d'entre eux est plus rapide que l'algorithme classique bien connu ; le truc est le choix intelligent d'une structure de données dans une situation spéciale. Ces méthodes sont excellentes du point de vue du logiciel et on mentionne aussi une implémentation matérielle (FPGA comme co-processeur cryptographique).
  • Y a-t-il de "bonnes" fonctions sur un cône ?

    — Jean-paul Brasselet

    7 juin 2002 - 16:00Salle de séminaires IRMA

    Les espaces rencontrés par les physiciens, les biologistes... sont bien plus souvent des variétés singulières (un cône par exemple) que des variétés lisses. On comprend donc l'intérêt de l'extension aux variétés singulières des résultats classiques (dualités, théorèmes d'indice) bien connus par les mathématiciens pour les variétés lisses. Il en est ainsi en particulier de la géométrie non commutative pour laquelle se pose naturellement la question suivante : quelles sont les "bonnes" notions de fonctions et de formes différentielles sur les variétés singulières ?
    Tout en restant accessible aux non-specialistes, nous tenterons de répondre à cette question au travers d'exemples et d'applications.
  • Mouvements browniens fluides

    — Yves Le Jan

    4 octobre 2002 - 16:00Salle de séminaires IRMA

    La donnée d'un produit scalaire sur une algèbre de Lie équivaut, en dimension finie, à celle d'un mouvement brownien sur le groupe correspondant. Au contraire, dans le cas de certaines algèbres de Lie de champs de vecteurs, la situation est beaucoup plus complexe : une famille d'exemples issus de modèles isotropes de transport turbulent fait apparaître des phénomènes de confluence, d'hyperinstabilité et de non-unicité.
  • Graphes désordonnés réguliers et circuits impairs en physique

    — Nicolas Rivier

    15 novembre 2002 - 16:00Salle de séminaires IRMA

    La théorie des graphes, notamment la notion de circuit, a fait son apparition en physique avec Kirchhoff (1847) dans l'étude des réseaux électriques. Nous nous intéresserons aux graphes désordonnés mais réguliers, qui décrivent les mousses ou les verres covalents (silice). Pour les premières, la régularité est assurée par le désordre ou l'absence d'ajustement (contrairement à la frontière aux 4 coins, entre l'Arizona, l'Utah, le Colorado et le Nouveau Mexique). Pour les seconds, la régularité est due à la chimie (le silicium est un atome tétravalent). Nous verrons que les circuits impairs jouent un rôle physique important et générique: Ils sont géométriquement frustrés, et sont traversés par des lignes continues fermées, qui constituent les "défauts" topologiques des matériaux désordonnés. Ces lignes impaires sont le siège de modes tunnel, excitations élémentaires remarquables des verres, où l'effet tunnel est imposé par la symétrie (invariance de jauge) du désordre.
  • Groupes symétriques et algèbres de Lie affines

    — Bernard Leclerc

    29 novembre 2002 - 16:00Salle de séminaires IRMA

    Frobenius a classifié il y a 100 ans les représentations irréductibles des groupes symétriques $S_n$ sur un corps de caractéristique $0$ et a calculé leurs caractères en termes de fonctions symétriques. En 1980, Date, Jimbo, Kashiwara et Miwa ont découvert une nouvelle réalisation de certaines algèbres de Lie affines au moyen d'opérateurs différentiels sur des algèbres de polynômes. Curieusement leur réalisation de l'algèbre affine $widehat{gl}_infty$ se trouve étroitement reliée aux formules de Frobenius pour les caractères irréductibles de $S_n$. Est-ce une coïncidence, ou existe-t-il une correspondance plus profonde entre groupes finis et algèbres de Lie de dimension infinie ? En 1995, en collaboration avec Lascoux et Thibon, nous avons établi une telle correspondance entre les représentations de $S_n$ sur un corps de caractéristique $p$ et l'algèbre de Lie affine $widehat{sl}_p$. Ceci a permis d'utiliser la théorie des algèbres de Kac-Moody, et en particulier leurs bases canoniques, pour calculer les caractères irréductibles de $S_n$ en caractéristique $p$ (pour $n