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Patrick Popescu-Pampu
Le zoo des singularités de surfaces complexes
14 janvier 2011 - 16:30Salle de conférences IRMA
Nous nous promènerons dans le zoo des singularités de surfaces complexes, en regardant les espèces les plus ubiquitaires, ainsi que certaines plus rares. Nous décrirons suivant quelles visions sont rangées actuellement les espèces dans leurs enclos, ainsi que certains aspects discrets ou continus de leurs anatomies. L'exposé se voudra accessible aux néophytes. -
Pierre Parent
Équations diophantiennes, courbes elliptiques, courbes algébriques
18 février 2011 - 16:00Salle de conférences IRMA
La démonstration du "dernier théorème de Fermat" repose sur le lien étrange entre l'équation diophantienne $$x^n+y^n=z^n$$ et certaines courbes elliptiques, définies par des polynômes à coefficients rationnels. On tentera d'expliquer quelques-unes des idées de cette approche et de ses développements ultérieurs, puis on verra comment on peut espérer que ce jeu déborde le cadre "équations diophantiennes - courbes elliptiques" pour donner des résultats très généraux sur l'arithmétique de toutes les courbes algébriques. L'exposé sera accessible à tous! -
Bas Edixhoven
Compter rapidement les vecteurs de longueur donnée dans un réseau
6 mai 2011 - 16:30Salle de conférences IRMA
La question est de savoir comment compter rapidement le nombre de façons dont on peut écrire un entier m comme somme de n carrés d'entiers. J'expliquerai comment des progrès récents en calculs de representations galoisiennes de dimension 2 permettent de calculer ce nombre, pour n pair et m donné avec sa décomposition en facteurs premiers, en temps borné par une puissance de n.log(m) (si on accepte l'hypothese de Riemann pour les corps de nombres). Ceci repose sur une généralisation par Peter Bruin d'un travail avec Jean-Marc Couveignes, Robin de Jong et Franz Merkl. Pour les détails, voir: http://www.math.univ-toulouse.fr/~couveig/book.htm http://www.math.u-psud.fr/~bruin/ http://www.math.leidenuniv.nl/nl/theses/196/ -
Oleg Viro
Political correctness and compliments to nice spaces with bad reputations
13 mai 2011 - 16:30Salle de conférences IRMA
When choosing a name for mathematical object, a mathematician often puts efforts to keep any object that they consider pathological out of consideration. This puts limitations on the mathematical language, mathematicians and mathematics. In the talk I will tell about a few nice mathematical objects and ideas and prejudices against them. We will discuss general principles, that may help to keep the mathematical language ready to unforeseen things. -
Arnaud Chéritat
Problèmes ouverts en dynamique holomorphe
30 septembre 2011 - 16:00Salle de conférences IRMA
Commencée par Fatou et Julia dans les années 1910 et 1920, l'étude de l'itération des fractions rationnelles a connu de grands progrès dans les années 1980 avec l'introduction des déformations quasi conformes, ainsi que diverses notions de renormalisation, et enfin une étude combinatoire poussée par Douady et Hubbard. Cependant, plusieurs questions ouvertes résistent encore à toute attaque. -
Wilfrid S. Kendall
Random lines and effective transportation networks
21 octobre 2011 - 16:30Salle de conférences IRMA
Abstract: The theory of random lines has a celebrated history, reaching back 300 years into the past to the work of Buffon, and forming a major part of the field of stochastic geometry. Recently it has found application in the derivation of surprising non-stochastic results concerning effective planar networks [1]. I plan to present an account of this, accessible to non-specialists, and also to describe more recent work concerning flows in related networks [2,3] and to introduce a rather curious random metric space. References: 1. David J. Aldous, WSK. Short-length routes in low-cost networks via Poisson line patterns. Advances in Applied Probability 40 (2008), no. 1, 1-21. 2. WSK. Networks and Poisson line patterns: fluctuation asymptotics. Oberwolfach Reports (2008), no. 5, 2670-2672. 3. WSK. Geodesics and flows in a Poissonian city. Annals of Applied Probability 21 (2011), no. 3, 801-842. -
Nicolas Monod
Grandes forêts pour Littlewood
25 novembre 2011 - 16:00Salle de conférences IRMA
En écho à un résultat d'analyse fonctionnelle de Sz.-Nagy, Dixmier posa en 1950 la question de déterminer quand une représentation de groupe peut être rendue unitaire. Cette question reste ouverte, mais nous allons présenter quelques progrès récents obtenus avec Epstein et Ozawa. Notre approche s'enracine dans les premières découvertes du XIXème siècle sur les courants électriques mais s'appuie aussi sur la théorie contemporaine des graphes aléatoires. Nous sommes conduits, par exemple, à construire des représentations non unitarisables des groupes de Burnside et aboutissons in fine à une nouvelle caractérisation de la moyennabilité. -
Jean Lannes
Opérateurs de Hecke pour les réseaux unimodulaires pairs
16 décembre 2011 - 16:00Salle de conférences IRMA
(travail en commun avec Gaëtan Chenevier) Un réseau unimodulaire pair de dimension n est un Z-module libre L de dimension n muni d'une forme quadratique q : L --> Z, non dégénérée sur Z (en clair, la forme bilinéaire associée induit un isomorphisme entre L et HomZ(L;Z)) et défi nie positive. Un tel L peut être vu comme un réseau (dans l'espace euclidien V engendré par L) vérifi ant les deux propriétés suivantes : - on a x.x \in 2Z pour tout x dans L (et donc aussi x.y \in Z pour tous x et y dans L) ; - le réseau L est de covolume 1 dans V . Cette observation explique la terminologie. On note X(n) l'ensemble des classes d'isomorphisme de réseaux unimodulaires pairs. Il est classique que l'ensemble X(n) est fini et qu'il est non vide si et seulement si n est divisible par 8. L'ensemble X(n) a été déterminé pour n \le 24 : - X(8) ne contient qu'un élément (lié au système de racines E8) ; - X(16) a deux éléments, E16 (lié au système de racines D16) et E8 \oplus E8 ; - X(24) a été déterminé par Niemeier en 1968, il a 24 éléments (l'un d'eux est le fameux réseau de Leech, les 23 autres peuvent être encore décrits en termes de systèmes de racines). On montre que X(32) a plus de 80 millions d'éléments (Serre dit malicieusement dans son cours d'arithmétique que la liste n'en a pas été faite !). Soit p un nombre premier. Soit V un espace euclidien de dimension n. On dit que deux réseaux unimodulaires pairs L et L' de V sont p-voisins (au sens de M. Kneser) si L \cap L' est d'indice p dans L (et L'). Dans le contexte ci-dessus, l'opérateur de Hecke T_p est l'endomorphisme du Z-module libre Z[X(n)], engendré par l'ensemble X(n), défini par la formule T_p[L] := \sum_{L' p-voisins de L} [L'] . Théorème. La matrice de l'endomorphisme T_p de Z[X(16)] dans la base { E16 ; E8 \oplus E8 } est {p4 - 1 \over p - 1} \Big( (p11 + p7 + p4 + 1) \times \pmatrix{ 1 & 0 \cr 0 & 1 } + { p^{11} - \tau(p) + 1 \over 691 } \times \pmatrix{ -286 & 405 \cr 286 & -405 } \Big) ; \tau désignant la fonction de Ramanujan. On expliquera comment démontrer ce théorème à l'aide de la théorie des opérateurs de Hecke pour les formes modulaires de Siegel et on décrira les ingrédients qui interviennent dans l'analogue de la formule ci-dessus en dimension 24.