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  • Algorithmique et combinatoire de la comparaison des structures d'ARN.

    — Alain Denise

    7 janvier 2005 - 16:00Salle de séminaires IRMA

    La plupart des gènes d'un organisme s'expriment sous forme de protéines. Cependant, pour certains d'entre eux, le produit final n'est pas une protéine mais une molécule d'ARN. Ces ARN ont des fonctions structurelles ou enzymatiques très importantes dans la cellule. La molécule d'ARN adopte dans l'espace une conformation complexe qui dépend des interactions physico-chimiques de ses constituants. Le rôle de la molécule dans l'activité cellulaire est intimement liée à cette structure.
    L'exposé présentera un panorama non exhaustif des travaux --- souvent très récents --- concernant l'algorithmique de la comparaison de structures d'ARN deux à deux. Du point de vue biologique, comparer finement deux structures peut permettre de conjecturer des propriétés fonctionnelles voisines, ou d'inférer une parenté entre deux molécules, parenté que la simple comparaison de séquences échouerait à établir.
    Deux principales approches coexistent pour la comparaison de structures :
    l'édition de structures consiste à se donner un certain nombre d'opérations de base (typiquement insertion, suppression ou substitution) sur des éléments de structure, et à trouver une suite minimale d'opérations permettant de transformer l'une des structures en l'autre.
    l'alignement de structures consiste à construire une structure minimale dont chacune des deux structures à comparer est une « sous-structure ».
    Nous verrons qu'en toute généralité, ces problèmes sont NP-complets. En d'autres termes, ils sont parmi les problèmes les plus difficiles de l'informatique. Ceci reste souvent vrai même si l'on se place dans un cadre restreint.
    On modélise la topologie d'une structure d'ARN par un graphe --- que l'on appelle parfois structure tertiaire --- dont les sommets sont les nucléotides et dont les arêtes représentent les liaisons chimiques. Une structure secondaire d'une séquence d'ARN est une représentation partielle de sa structure tertiaire. Une structure secondaire a l'avantage d'être bien plus aisément manipulable que la structure tertiaire, tout en contenant une quantité d'informations suffisante pour un certain nombre de traitements. Sous certaines hypothèses, le problème de la comparaison de structures secondaires d'ARN peut se ramener à une comparaison d'arbres, problème que l'on sait résoudre en temps polynomial. Nous présenterons les principaux algorithmes de comparaison d'arbres développés dans ce contexte et nous analyserons leurs complexités. Nous en présenterons quelques variantes qui ont été conçues dans le but de prendre en compte autant que possible les propriétés spécifiques des structures secondaires d'ARN.
  • Abel's memoir and the notion of the genus of an algebraic curve.

    — Harold M. Edwards

    21 janvier 2005 - 16:00Salle de séminaires IRMA

    Abel generalized Euler's addition theorem for elliptic curves to curves of higher genus by proving that any number of integrals of an algebraic differential can be reduced to a fixed number of integrals that depends only on the differential.
    The minimum number of integrals, which is one for an elliptic curve, is in essence the genus of the algebraic curve that is implicit in the differential. The algebraic and geometric ideas involved in Abel's theorem will be examined and the modern notion of the genus of a curve will be connected to them.
  • Quelques conjectures plausibles liées aux nombres premiers.

    — Tanguy Rivoal

    25 février 2005 - 16:00Salle de séminaires IRMA

    Selon la façon de la regarder, la suite des nombres premiers semble avoir un comportement simple ou erratique, ce qui rend délicat de démontrer, voire même simplement de conjecturer, des lois précises suivies par certaines suites associées. Après avoir rapidement indiqué comment fut conjecturé et démontré le théorème des nombres premiers, je m'intéresserai plus particulièrement aux difficultés rencontrées par les mathématiciens dans la formulation et la justification heuristique de lois plausibles pour les conjectures de Goldbach et des nombres premiers jumeaux. Je conclurai en évoquant une heuristique assez frappante en faveur de ces mêmes conjectures, obtenue par une approche purement analytique.
  • Neurones et images.

    — Daniel Bennequin

    11 mars 2005 - 16:00Salle de séminaires IRMA

    Le cerveau des animaux prépare la cohérence des perceptions et des actions. Quels sont les choix que font les assemblées de neurones pour réaliser ce travail ? Quelles théories mathématiques peuvent aider à éclaicir ces choix ? Prenons un exemple bien étudié par les chercheurs en neurosciences : la préparation de la vision dans les aires visuelles corticales primaires des mammifères. On y rencontre une géométrie apparente d'une richesse étonnante (topologie, orientation, mouvement, montage dynamique, ...) décrite en particulier par Hubel, Wiesel, Grinvald, Boenhoffer, De Angelis, et aussi une géométrie plus cachée (variétés, processus, recollements, ...) sur laquelle je travaille en ce moment avec des spécialistes : A. Berthoz, J. Droulez, C. Milleret, J. Petitot, ...
  • Quand deux germes de fonctions analytiques se ressemblent-ils ?

    — Adam Parusinski

    1 avril 2005 - 16:00Salle de séminaires IRMA

    Nos étudiants savent démontrer que deux formes quadratiques sur $R^n$ se ressemblent si et seulement si elles ont m^eme signature (car elles se correspondent alors par un changement linéaire de coordonnées). D'autre part, il est naturel de considérer que les germes du cusp $f(x,y) = x^2 -y^3: (R^2,0) o (R,0)$ et de la fonction régulière $g(x,y) = x : (R^2,0) o (R,0)$ ne se ressemblent pas. On n'a en effet $f=gcirc sigma$ pour aucun changement bi-lipschitzien local de coordonnées ${sigma: (R^2,0) o (R^2,0)}$, bien que cela ait lieu pour un homéomorphisme. Considérons la famille de Whitney $f_t= xy(y-x)(y-tx): (R^2,0) o (R,0)$ avec $tin (0,1)$ comme paramètre. D'une part si $t e t'$ alors $f_t$ n'est pas équivalent à $f_{t'}$ par un changement différentiable des coordonnées, d'autre part le passage aux coordonnées polaires, ou bien l'éclatement de $0in R^2$, rend cette famille ana-ly-ti-quement triviale. De manière similaire, la famille $f_t= x^3 -3txy^4 +y^6, t>0$, pour laquelle $f_t$ n'est pas équivalent à $f_{t'}$ par un changement bi-lipschitzien des coordonnées si $t e t'$, devient analytiquement triviale après un éclatement plus compliqué (une modification torique).
    Dans les années 80, T.-C. Kuo a proposé de considérer comme équivalents les germes $(RR^n,0) o (RR,0)$ qui deviennent analytiquement isomorphes après certaines modifications, et les a appelés blow-analytiquement équivalents. Il a montré que cette équivalence n'est pas trop fine : pour les germes de polyn^omes de degré borné, sous l'hypothese de singularité isolée, il n'existe qu'un nombre fini de types différents. Nous présenterons un panorama des résultats récents sur cette notion d'équivalence ; nous verrons en particulier comment obtenir des invariants qui permettent de distinguer des types blow-analytiques différents. La construction de ces invariants utilise de manière essentielle des outils provenant de la géométrie algébrique (intégration motivique, nombres de Betti virtuels).
  • Formule d'inversion de Poisson et fonction zêta sur SL2(C)

    — Serge Lang

    27 mai 2005 - 16:30Salle de séminaires IRMA

    La formule d'inversion de Poisson commence avec la gaussienne $e^{-x^2/4t}$ normalisée pour que l'intégrale totale soit 1 (normalisation probabiliste), puis continue par périodisation par $2pif Z$, développement en série de Fourier, puis régularisation et évaluation en $x=0$. Riemann obtient la fonction z^eta en appliquant la transformation de Mellin. Suivant un cheminement (road map) semblable, mais en appliquant la transformation dite de Gauss, on obtient une fonction dite z^eta additive (Jorgenson-Lang) avec équation fonctionnelle. Ce cheminement met en évidence une fac con générale de construire une telle fonction z^eta, en partant du noyau de la chaleur (gaussien avec normalisation probabiliste). Au lieu de poser $x=0$, on intègre sur ${}_Gamma!{setminus}G$, le cas le plus simple sur ${G=SL_2({f C})}$ étant ${Gamma = SL_2({f Z}[i])}$ (sous-groupe arithmétique). Le programme est d'étendre tout cela à des $G/K$ semi-simples, à commencer par $SL_n$.
  • La théorie des modèles des corps et quelques unes de ses applications.

    — Elisabeth Bouscaren

    9 décembre 2005 - 16:00Salle de séminaires IRMA

    La Théorie des modèles est une branche de la Logique mathématique relativement récente et encore assez mal connue, malgré ses liens étroits avec l'algèbre et la géométrie. Nous essayerons de présenter les notions de base et quelques résultats fondamentaux de la théorie des modèles (ensembles définissables, théorème de compacité, théorèmes de transferts) en évitant le formalisme général. Pour cela nous nous placerons tout de suite dans le cadre spécifique de la "théorie des modèles des corps" en regardant quelques exemples : corps algébriquement clos, corps réels clos, corps différentiels, corps valués... Nous essayerons d'expliquer, à partir de ces exemples, comment les outils de théorie des modèles permettent d'obtenir de nouveaux résultats algébriques ou géométriques, ou de nouvelles démonstrations de résultats existants : des plus classiques (version asymptotique d'une conjecture d'Artin, obtenue par théorèmes de transferts, Ax et Kochen, 1965-66), aux plus récents (résultats de Hrushovski, puis de Scanlon, Pillay et d'autres en géométrie diophantienne, obtenus par l'analyse des ensembles définissables de dimension finie, depuis 1994).