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  • Marches aléatoires sur les groupes de tresses

    — Xavier Bressaud

    11 janvier 2008 - 16:00Salle de conférences IRMA

    A partir de trois «brins» attachés à un bout (par exemple trois mèches de cheveux) on peut faire une «tresse». Les mouvements qu'on effectue se décomposent en deux mouvements élémentaires : prendre le brin de droite pour l'amener au milieu en passant au dessus du brin du milieu, et, prendre le brin de gauche pour l'amener au milieu en passant au dessus du brin du milieu. On peut imaginer deux autres opérations élémentaires (qui permettraient de défaire la tresse) consistant à faire passer le brin du milieu à droite (resp. à gauche) en le passant au dessus du brin de droite (resp. de gauche). Que se passerait-il si a chaque étape on choisissait au hasard l'un de ces 4 mouvements élémentaires ? Quelle serait l'allure de la «tresse» (dans un sens maintenant plus général) obtenue après un certain nombre d'opérations ? Reviendrait-on une infinité de fois à la situation initiale ? Comment décrire le comportement asymptotique d'un tel processus ? Que se passerait-il si on faisait la même expérience avec plus de trois brins ? Les tresses (munies de la concaténation) forment un groupe et le processus décrit ci dessus peut se formaliser comme une marche aléatoire sur ce groupe. Les marches aléatoires sur les groupes ont été beaucoup étudiées. Au delà de la question de récurrence/transcience, se pose en général la question d'existence (plus précisément de non-trivialité) d'une «frontière» permettant de distinguer les différents comportements asymptotiques possibles de la marche. Il s'agit d'une compactification (probabiliste) du groupe qu'il n'est pas facile d'identifier dans un cadre général mais qui s'identifie au bord topologique pour les groupes hyperboliques. Nous commencerons par décrire le formalisme des marches aléatoires sur les groupes finiment engendrés, pour mettre en évidence la notion de frontière (de Poisson). Nous spécifierons ce qui se passe dans le cas le plus simple, celui des groupes libres puis dans le cas encore relativement bien compris des groupes hyperboliques. Nous introduirons la notion de forme normale stable qui peut permettre de décrire cette frontière comme un ensemble de Cantor. Nous présenterons ensuite sous différents angles les groupes de tresses. Ces groupes ont beaucoup de propriétés des groupes hyperboliques, mais ne sont pas hyperboliques. Il faut donc adapter les méthodes développées pour les groupes hyperboliques afin d'étudier le comportement asymptotique d'une marche aléatoire sur un groupe de tresses. Nous présenterons finalement une forme normale pour les tresses qui permet de donner une image combinatoire de la frontière de ces groupes.
  • Vitesse de croissance exponentielle pour les suites de Fibonacci aléatoires

    — Élise Janvresse

    7 mars 2008 - 16:00Salle de conférences IRMA

    On étudie des suites aléatoires définies par leurs deux premiers termes, et l'une des deux relations de récurrence suivantes : F(n+1)=F(n)±F(n-1) (cas linéaire) ; F(n+1)= |F(n)±F(n-1)| (cas non linéaire). Dans les deux cas, le signe + ou - est donné par une suite i.i.d. en choisissant + avec probabilité 02. Il s'agit d'un travail effectué en collaboration avec Benoît Rittaud (Paris 13) et Thierry de la Rue (Rouen).
  • Introduction to Formal Proofs

    — Thomas Hales

    23 mai 2008 - 16:00Salle de conférences IRMA

    In a formal proof, every step of a proof is checked, all the way back to the fundamental axioms and rules of inference of mathematics. A formal proof is often less intuitive than an ordinary proof, but it is also less prone to errors. In recent years, a number of nontrivial theorems have been checked formally, including the proof of the four-color theorem, two different proofs of the prime number theorem, Cauchy's theorem, and the Jordan curve theorem. This talk will describe some of these formal proofs. Another project, called the "FLYSPECK" project aims to formalize significant parts of discrete geometry, including the proof of the Kepler conjecture on sphere packings.
  • Van der Waerden in Leipzig (1931-1945): Modern Algebra in the service of Anti-Modernism?

    — Reinhard Siegmund-Schultze

    6 juin 2008 - 16:00Salle de conférences IRMA

    B.L. van der Waerden (1903-1996), the Dutch student of Emmy Noether's at Göttingen and Emil Artin's in Hamburg, exerted considerable influence on the international developments of the modern, abstract algebra of the time through his book "Moderne Algebra" of 1930/31. When the Nazis took power in 1933, he chose to stay in Leipzig in spite of the dismissal of his teacher, the denunciation of his and her algebra as "Jewish"; and offers to go to the U.S. The talk will discuss some political aspects of the reception of modern algebra in the 1930s. It will be discussed to which extent van der Waerden's stay in Hitler's Germany helped German research in algebra survive or, on the contrary, led to a restriction of its thematic range, compared to developments abroad. Van der Waerden's personal behaviour, ranging from his brave obituary for Noether in Mathematische Annalen (1935), via resistance within the Leipzig faculty, all the way to his part in the exclusion of emigrants from German publications, self-censorship in mathematical publications, eagerness to make a career under Nazi conditions and lack of sensibility with respect to the feelings of his Dutch and American colleagues, will be analysed in its motives, and in its partial inexplicability. A discussion of the post-war apologia by van der Waerden himself and his historiographers will conclude the talk.
  • Symplectic embeddings of 4-dimensional ellipsoids

    — Dusa Mcduff

    16 juin 2008 - 16:00Salle de conférences IRMA

  • Séries arithmétiques convergentes

    — Jérôme Poineau

    18 septembre 2008 - 10:30Salle de conférences IRMA

    Exposé dans le cadre de la journée de rentrée.
  • Problèmes de construction de plans d'expérience de type polynomial

    — Frédéric Bertrand

    18 septembre 2008 - 11:00Salle de conférences IRMA

    Exposé dans le cadre de la journée de rentrée.
  • Arbres aléatoires et applications

    — Jean-François Le Gall

    21 novembre 2008 - 16:00Salle de conférences IRMA

    De nombreux travaux récents étudient les limites continues d'arbres aléatoires discrets. Ces arbres discrets peuvent être définis soit de manière combinatoire (arbre choisi au hasard parmi tous les arbres à n sommets d'un certain type) soit de manière probabiliste (en donnant la loi du "nombre d'enfants" de chaque sommet de l'arbre). Un passage à la limite quand le nombre de sommets l'arbre tend vers l'infini, et simultanément la longueur de chaque arête tend vers 0, conduit à des arbres aléatoires continus dont le prototype est le Continuum Random Tree (CRT) introduit par Aldous. L'exposé décrira la manière dont ces arbres sont codés et en quel sens ils sont limites des arbres discrets. Si le temps le permet, on discutera aussi certaines applications aux propriétés des grandes cartes planaires (une carte planaire est un graphe plongé dans la sphère de dimension deux).